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Hallo
Ich hab hier folgendes Beispie zu lösen
Bestimmen Sie die Nullstellen von [mm] f_{x} ,f_{y} [/mm] Untersuchen Sie welche Art von Extr vorliegt
[mm] f=y^{2}-y^{2}x+x-2y^{2}x
[/mm]
[mm] f_{x}=-2xy^{2}+1-2y^{2}
[/mm]
[mm] f_{xx}=-2y^{2}
[/mm]
[mm] f_{y}=2y-2yx^{2}-4yx
[/mm]
[mm] f_{yy}=2-2x^{2}-4x
[/mm]
[mm] f_{xy}=-4xy-4y
[/mm]
Wie bestimme ich hier jetzt die Nullstellen von diesem Gleichungssystem
[mm] f_{x}=-2xy^{2}+1-2y^{2}
[/mm]
[mm] f_{y}=2y-2yx^{2}-4yx
[/mm]
Muss man da Substituieren oder geht das nur mit einem Näherungsverfahren??
Danke
lg Stevo
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Hallo Stevo!
Du kannst die Nullstellen hier nur in Abhängigkeit von y(bzw. x) bestimmen. Sobald du dir das klar gemacht hast, geht es ganz einfach (vorausgesetzt, ich vertue mich hier nicht:
Du hast [mm] f_x [/mm] ja schon ausgerechnet. Es gilt also
> [mm]f_{x}=-2xy^{2}+1-2y^{2}[/mm]. umgeformt mit [mm] f_x=0 [/mm] ergibt das
[mm] xy^2=\bruch{1}{2}-y^2. [/mm] Durch [mm] y^2 [/mm] geteilt (vorausgesetzt y ist nicht null) und du hast die Nullstelle. Es handelt sich hier auf jeden Fall um ein Maximum, denn wenn du dir die zweite Ableitung anschaust, siehst du, dass sie für alle x und y nur negativ sein kann. (oder sind deine werte aus den Komplexen zahlen?)
Übrigens hast du dich anscheinend bei deiner ableitung von f nach y verrechnet:
Zumindest ist da in der mitte ein [mm] x^2, [/mm] das da nicht hingehört. Es muss heißen: [mm] f_y=2y-2yx-4yx [/mm] (nochmal nach y abgeleitet dann [mm] f_{yy}=2-6x). [/mm] Setze gleich Null und erhalte y=0 (kannst du ausklammern). Bei der zweiten Ableitung hast du wieder kein y enthalten, also musst du da dann wohl eine Fallunterscheidung für x machen, um zum ziel zu kommen...
Ich hoffe, ich habe mein leicht eingestaubtes Wissen hier korrekt aufpoliert, Gruß
San
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