F(n;p;k) = 1 - F(n;1-p;n-k-1) < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:20 Di 30.10.2007 | | Autor: | Bit2_Gosu |
Hallo!
Es gilt zu beweisen, dass
F(n;p;k) = F(n;1-p;n-k-1), wobei F(n;p;k) = [mm] \summe_{i=0}^{k}(\vektor{n \\ i}*p^{i}*(1-p)^{n-i})
[/mm]
Nun hab ich Dödel erst versuch zu beweisen, dass B(n;p;k) = B(n;1-p;n-k-1), bis mir eingefallen ist, dass die im [mm] \summe_{}^{} [/mm] von F(n;p;k) k Summanden enthalten sind, und im [mm] \summe_{}^{} [/mm] von F(n;1-p;n-k-1) n-k-1 Summanden enthalten sind und das deshalb nix bringt.
Hat jemand eine Idee ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:44 Di 30.10.2007 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Bit2_Gosu,
Du wirst Dir schwer tun, die Formel zu beweisen, denn so wie Du sie notiert hast, ist sie falsch!
Richtig wäre:
F(n; p; k) = [mm] \red{1} [/mm] - F(n; 1-p; n-k-1)
Kommst Du nun weiter?!
mfG!
Zwerglein
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Achso! Dumm ;) Aber gut, auch so verstehe ich es nicht wirklich.
Also da F(n; p; k) = P(X<=k), wobei X die "Trefferanzahl" darstellt muss (wenn die zu beweisende Gleichung korrekt ist) gelten:
F(n; 1-p; n-k-1) = P(X>k)
Leider leuchtet mir diese Gleichung aber nicht unmittelbar ein.
Kann mir vielleicht doch noch jemand ein wenig weiter helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:35 Di 30.10.2007 | | Autor: | Blech |
> Achso! Dumm ;) Aber gut, auch so verstehe ich es nicht
> wirklich.
>
> Also da F(n; p; k) = P(X<=k), wobei X die "Trefferanzahl"
> darstellt muss (wenn die zu beweisende Gleichung korrekt
> ist) gelten:
>
> F(n; 1-p; n-k-1) = P(X>k)
Wieso setzt Du oben in die Definition nicht einfach mal (1-p) statt p und (n-k-1) statt k ein?
Des weiteren gilt:
[mm] ${n\choose i} [/mm] = [mm] {n\choose n-i}$ [/mm] =)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:41 Di 30.10.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo Bit2_Gosu,
es ist ja
$F(n;1-p;n-k-1) = [mm] \summe_{j=0}^{n-k-1}{n \choose j}(1-p)^{j}p^{n-j}$
[/mm]
Setze mal in der Summe $j=n-i$, also $i=n-j$ ...
lg
Luis
PS: Nutze noch den Tipp meines Vorredners aus.
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So ich wills jetzt mal mit euren Tipps und meiner Erkenntnis, dass
P(X>k)=F(n;1-p;n-k-1) versuchen.
[mm] P(X>k)=\summe_{i=k+1}^{n}\vektor{n \\ i}*p^{i}*(1-p)^{n-i}
[/mm]
[mm] \Rightarrow F(n;1-p;n-k-1)=\summe_{i=k+1}^{n}\vektor{n \\ i}*p^{i}*(1-p)^{n-i}
[/mm]
Wie du sagtest, gilt:
[mm] F(n;1-p;n-k-1)=\summe_{j=0}^{n-k-1}{n \choose j}(1-p)^{j}p^{n-j}
[/mm]
Ich habe nach deinem Tipp umgeformt. Nun haben wir:
[mm] F(n;1-p;n-k-1)=\summe_{i=n}^{n-k-1}{n \choose i}(1-p)^{n-i}p^{i}
[/mm]
Jetzt ist zu zeigen:
[mm] \summe_{i=k+1}^{n}\vektor{n \\ i}*p^{i}*(1-p)^{n-i}=\summe_{i=n}^{n-k-1}{n \choose i}(1-p)^{n-i}p^{i}
[/mm]
Jetzt setzen wir in der ersten der beiden Summen k+1=n
Dadurch ist noch zu zeigen, dass gilt:
[mm] \summe_{i=n}^{k+1}\vektor{k+1 \\ i}*p^{i}*(1-p)^{k+1-i}=\summe_{i=n}^{n-k-1}{n \choose i}(1-p)^{n-i}p^{i}
[/mm]
Ja und weiter weiß ich nun wirklich nicht..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 Di 30.10.2007 | | Autor: | luis52 |
>
> ich habe nach deinem Tipp umgeformt. Nun haben wir:
>
> [mm]F(n;1-p;n-k-1)=\summe_{i=n}^{n-k-1}{n \choose i}(1-p)^{n-i}p^{i}[/mm]
>
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Die Summe laeuft von $n$ bis $k+1$...
lg Luis
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Es gilt ja:
F(n;1-p;n-k-1) = [mm] \summe_{j=0}^{n-k-1}{n \choose j}(1-p)^{j}p^{n-j}
[/mm]
Nun hast du gemeint, ich solle mal j=n-i setzen. Da kommt jawohl das bei raus:
F(n;1-p;n-k-1) = [mm] \summe_{i=n}^{n-k-1}{n \choose i}(1-p)^{n-i}p^{i}
[/mm]
Oder bin ich jetzt total blöde?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Di 30.10.2007 | | Autor: | luis52 |
> Es gilt ja:
>
> F(n;1-p;n-k-1) = [mm]\summe_{j=0}^{n-k-1}{n \choose j}(1-p)^{j}p^{n-j}[/mm]
>
> Nun hast du gemeint, ich solle mal j=n-i setzen. Da kommt
> jawohl das bei raus:
>
> F(n;1-p;n-k-1) = [mm]\summe_{i=n}^{n-k-1}{n \choose i}(1-p)^{n-i}p^{i}[/mm]
$j=n-i$ heisst $i=n-j$. Die untere Grenze hast du richtig bestimmt: Wenn $j$ bei 0 ist, ist $i$ bei $n$. Wenn $j$ bei $n-k-1$ ist, ist $i$ bei $n-(n-k-1)=k+1$ ...
>
> Oder bin ich jetzt total blöde?
Bitte stelle nicht solche Fragen 
lg Luis
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Ach so läuft das! Klingt jetzt aber logisch ;)
Wenn ich meinen Fehler korrgiere und bei meiner dritten Frage in diesem Forum weiter mache, muss ich noch zeigen, dass gilt:
[mm] \summe_{i=n}^{k+1}\vektor{k+1 \\ i}\cdot{}p^{i}\cdot{}(1-p)^{k+1-i}=\summe_{i=n}^{k+1}{n \choose i}(1-p)^{n-i}p^{i}
[/mm]
Und das gilt ja nur für den Fall, dass n=k+1, für nicht sehr viele Fälle also - habe ich vielleicht noch einen Fehler gemacht ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:38 Di 30.10.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo Bit2_Gosu,
wo ist denn noch das Problem? Wir sollen beweisen $F(n; p; k) = 1- F(n; 1-p; n-k-1) $, also nach allem was wir wissen, $ [mm] \summe_{i=0}^{k}{n \choose i}(1-p)^{n-i}p^{i}= [/mm] 1- [mm] \summe_{i=n}^{k+1}{n \choose i}(1-p)^{n-i}p^{i} [/mm] = 1- [mm] \summe_{i=k+1}^{n}{n \choose i}(1-p)^{n-i}p^{i} [/mm] $, also $1= [mm] \summe_{i=0}^{k}{n \choose i}(1-p)^{n-i}p^{i}+ \summe_{i=k+1}^{n}{n \choose i}(1-p)^{n-i}p^{i}$, [/mm] was nach Jakob Erasmus Binomi stimmt.
lg
Luis
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Super Idee ! Darauf bin ich gar nicht gekommen !
Nur sag mal, noch eine kleine letzte Frage, damit wir alle beruhigt ins Bett gehen können ^^
warum gilt: 1- [mm] \summe_{i=n}^{k+1}{n \choose i}(1-p)^{n-i}p^{i} [/mm] = 1- [mm] \summe_{i=k+1}^{n}{n \choose i}(1-p)^{n-i}p^{i}
[/mm]
Man geht doch in +1ser Schritten vom unteren Wert des Summenzeichens bis zum oberen ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 Di 30.10.2007 | | Autor: | luis52 |
> Nur sag mal, noch eine kleine letzte Frage, damit wir alle
> beruhigt ins Bett gehen können ^^
>
> warum gilt: 1- [mm]\summe_{i=n}^{k+1}{n \choose i}(1-p)^{n-i}p^{i}[/mm]
> = 1- [mm]\summe_{i=k+1}^{n}{n \choose i}(1-p)^{n-i}p^{i}[/mm]
>
> Man geht doch in +1ser Schritten vom unteren Wert des
> Summenzeichens bis zum oberen ??
Nicht unbedingt. Es muss nur klar sein, welche Summanden eingehen. Eindeutiger, wenngleich umstaendlicher, ist die Schreibweise [mm] $\sum_{i\in\mathcal{I}}a_i$, [/mm] worin [mm] $\mathcal{I}$ [/mm] eine Indexmenge ist.
Gute Nacht.
Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:25 Mi 31.10.2007 | | Autor: | luis52 |
> Hi, Luis,
>
> > was nach Jakob Erasmus Binomi stimmt.
>
> Also: Meines Wissens hieß dieser berühmte Erfinder der
> binomischen Formeln Giacomo Binomi. Ist das wohl dasselbe
> wie Jakob?
Hi Erwin,
ich weiss, aber das ist ein populaerer Irrtum.
Neuere Forschungen ergaben diesen seinen wahren Namen.
Freut mich, dass ich deinen Horizont erweitern durfte.
lg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:22 Mi 31.10.2007 | | Autor: | Bit2_Gosu |
nachdem das mit dem Namen geklärt ist, ein fettes Dankeschön an dich Luis !!
Du hast dir echt viel Mühe gegeben!
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![[biggrin]](/images/smileys/biggrin.gif "[biggrin]"){kind=small}
![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]"){kind=small}
![[totlach]](/images/smileys/totlach.gif "[totlach]"){kind=small}
