Faktorgruppe nach Zentrum < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:09 Do 27.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Hallo Leute,
und zwar wollte ich nur wissen, wie man sich:
G/Z(G) vorstellen kann?
Z(G) sind ja alle Elemente aus G, die miteinander kommutieren, nur wie kann ich mir die Faktorgruppe vorstellen?
Wollte erst [mm] G=\IZ [/mm] nehmen, aber dies ist sinnlos, die [mm] G(\IZ)=\IZ [/mm] ist, da die Addition ja kommutiert, hat jemand ein gutes Beispiel für mich? Hatte schon an etwas mit Matrizen gedacht, weiß aber nicht genau, wie man das realisieren kann.
Danke schonmal!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:57 Fr 28.09.2012 | | Autor: | hippias |
> Hallo Leute,
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> und zwar wollte ich nur wissen, wie man sich:
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> G/Z(G) vorstellen kann?
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> Z(G) sind ja alle Elemente aus G, die miteinander
> kommutieren, nur wie kann ich mir die Faktorgruppe
> vorstellen?
Wie Du Dir diese Faktorgruppe vorstellen sollst, kann ich auch nicht sagen: es ist eben die Faktorgruppe nach dem Zentrum, die Zentrumselemente werden zu "$1$"; diese Elemente kommutieren uebrigens nicht nur untereinander, sondern mit allen Gruppenelementen.
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> Wollte erst [mm]G=\IZ[/mm] nehmen, aber dies ist sinnlos, die
> [mm]G(\IZ)=\IZ[/mm] ist, da die Addition ja kommutiert, hat jemand
> ein gutes Beispiel für mich? Hatte schon an etwas mit
> Matrizen gedacht, weiß aber nicht genau, wie man das
> realisieren kann.
Matrizen liefern gute, nicht triviale Beispiele: Man kann sich leicht ueberlegen, dass [mm] $Z(GL_{n}(K))= K^{\*}E$ [/mm] ist, wobei $E$ die Einheitsmatrix ist. Die Gruppe [mm] $SL_{n}(K)/Z(SL_{n}(K))$ [/mm] heisst projektive spezielle lineare Gruppe und spielt in der Geometrie und Gruppentheorie eine bedeutsame Rolle. Ferner laesst sich Hilfe des Zentrums definieren, wann man eine Gruppe nilpotent nennt.
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> Danke schonmal!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Sa 29.09.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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moin,
hippias hat ja schon einiges gesagt und leider kann ich dir auch nicht allgemein sagen, wie so etwas aussieht.
Allerdings kann ich folgende Tatsache anbieten, falls du Lust hast sie zu beweisen:
Seien $g,h [mm] \in [/mm] G$ und $[g],[h] [mm] \in [/mm] G/Z(G)$ die zugehörigen Restklassen.
Dann gilt:
Ist $[g]=[h]$ so folgt daraus $gh = hg$, also die Elemente $g,h$ kommutieren in $G$.
Die Umkehrung gilt leider nicht im Allgemeinen, aber man kann zeigen, dass sie genau dann gilt, wenn $G$ kommutativ ist.
lg
Schadow
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