Fallunterscheidung < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle Nullstellen von [mm] p(x)=\bruch{1}{3}x^{2}+ax+1 [/mm] in Abhängigkeit von a. |
Meine Vorgehensweise wäre nun folgende. Ich berechne die Diskriminante der Gleichung.
[mm] D=a^{2}-4*\bruch{1}{3}*1
[/mm]
[mm] D=a^{2}-\bruch{4}{3}
[/mm]
Nun hätte ich gesagt, dass es drei Fallunterscheidungen gibt. Für D < 0, D = 0 und D > 0. Stimmt das? Und wie geht es dann weiter?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:33 So 05.10.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo seattlely,
willkommen im Forum!
Warum nicht einfach mit quadratischer Ergänzung (oder p,q-Formel):
[mm] $$0=\frac{1}{3}x^2+ax+1
[/mm]
[mm] \gdw 0=x^2+3ax+3
[/mm]
[mm] \gdw 0=x^2+3ax+(1,5a)^2-(1,5a)^2+3
[/mm]
[mm] \gdw (1,5a)^2-3=(x+1,5a)^2
[/mm]
[mm] \gdw x=\pm\sqrt{(1,5a)^2-3}-1,5a$$
[/mm]
Auch wenn du dies schon gemacht hast, solltest du es erwähnen, da es für die Lösung der Aufgabe wichtig ist (zumindest das Ergebnis).
Die Diskriminante einer quadratischen Gleichung [mm] $ax^2+bx+c=0$ [/mm] ist durch [mm] D=b^2-4ac [/mm] gegeben. Im Falle der p,q-Formel [mm] x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} [/mm] schreibt man [mm] D=p^2-4q.
[/mm]
Im vorliegenden Fall erhält man also [mm] D=a^2-\frac{4}{3}, [/mm] wie du bereits bemerkt hast. (Die zugehörige Fallunterscheidung gestaltet sich analog zu der Betrachtung von [mm] D=9a^2-4\cdot3=9a^2-12.)
[/mm]
Nun zur Fallunterscheidung:
Ist D<0 existiert keine Lösung in [mm] \IR, [/mm] wohl aber in [mm] \IC [/mm] (![[]](/images/popup.gif) Lösungsformel für IC).
Ist D>0 existieren zwei mögliche Lösungen.
Ist D=0 existiert nur eine Lösung.
1.) Für welchen Wert von $a$ ist also [mm] a^2-\frac{4}{3}=0? [/mm] (eine Lösung)
2.) Für welchen Wert von $a$ ist [mm] a^2-\frac{4}{3}>0? [/mm] (zwei Lösungen)
3.) Für welchen Wert von $a$ ist [mm] a^2-\frac{4}{3}<0? [/mm] (keine Lösung)
Beim Auflösen der Ungleichungen auf die beiden möglichen Ergebnisse der Wurzel achten [mm] (\pm).
[/mm]
EDIT: Vielleicht noch mal konkret:
[mm] $$a^2>\frac{4}{3}\Rightarrow a>\sqrt{\frac{4}{3}}\vee a<-\sqrt{\frac{4}{3}}$$
[/mm]
wie man leicht durch Einsetzen nachvollziehen kann.
MfG
Ladon
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Wie kommst du auf $ [mm] D=9a^2-4\cdot3=9a^2-12 [/mm] $ ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 So 05.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wie kommst du auf [mm]D=9a^2-4\cdot3=9a^2-12[/mm] ?
das war vielleicht ein wenig schlecht von Ladon formuliert. Es ging' ihm
um einen darum, dass die Diskriminanten bei der allgemeinen abc- bzw.
etwas speziellen pq-Formel "ähnlich aussehen" - vor allem aber darum,
dass sie zu den gleichen Fallunterhscheidungen führen.
Etwas genauer gesagt: Mit
[mm] $D:=a^2-\frac{4}{3}$
[/mm]
gilt
$D < [mm] 0\,$ $\iff$ $a^2-\frac{4}{3} [/mm] < 0$ [mm] $\iff$ $\frac{3a^2-4}{3} [/mm] < 0$
[mm] $\iff$ $3a^2-4 [/mm] < [mm] 0\,,$
[/mm]
aber auch (fast analog oder einfach mit obigem Ergebnis weiterrechnen/-denken)
$D < [mm] 0\,$ $\iff$ $3*(3a^2-4)<0$ $\iff$ $\underbrace{9a^2-12}_{=:D\,'} [/mm] < [mm] 0\,.$
[/mm]
(Hierbei kann man auch überall [mm] $<\,$ [/mm] durch [mm] $>\,,$ $\le,$ $\ge$ [/mm] oder [mm] $=\,$ [/mm] ersetzen!)
Natürlich ist i.a. dabei $D [mm] \not=D\,'\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:53 Mo 06.10.2014 | | Autor: | Ladon |
Dem habe ich nichts mehr hinzuzufügen, außer folgendes:
Du kannst auf demselben Weg wie Marcel natürlich zeigen, dass die Betrachtung von $ [mm] D=p^2-4q$ [/mm] äquivalent zur Betrachtung des Terms [mm] $(\frac{p}{2})^2-q$ [/mm] ist, was ja gerade der Term ist, der unter der Wurzel bei der p,q-Formel steht.
MfG
Ladon
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