Faltung diskreter Verteilungen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 Fr 18.05.2007 | | Autor: | zerocool |
| Aufgabe 1 | Seien X, Y zwei unabhängige, diskrete Zufallsvariablen über einem Wahrscheinlichkeitsraum [mm] (\Omega, \mathcal{A}, [/mm] P) mit Werten in [mm] \IZ. [/mm] Zeigen Sie:
[mm] \forall [/mm] k [mm] \in \IZ [/mm] : P({X + Y = k}) = [mm] \summe_{l \in \IZ}^{}P({X = l})\*P({Y = k - l}).
[/mm]
Bemerkung: Dieser Zusammenhang wird als Faltung bezeichnet. |
| Aufgabe 2 | Seien X, Y zwei unabhängige, diskrete Zufallsvariablen über einem Wahrscheinlichkeitsraum ( [mm] \Omega, \mathcal{A}, [/mm] P) mit Werten in [mm] \IZ [/mm] . Zeigen Sie:
[mm] \forall [/mm] k [mm] \in \IZ [/mm] : P({X + Y = k}) = [mm] \summe_{l \in \IZ } [/mm] P({X = [mm] l})\*P({Y = k - l}) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
Ich habe folgendes geizeigt:
Wir haben:
X, Y : [mm] \Omega \mapsto \IZ
[/mm]
X, Y unabhängig [mm] \gdw P({X=x}\cap{Y=y})=P({X=x})\*P({Y=y})
[/mm]
X, Y diskret [mm] \gdw \Omega [/mm] endlich oder abzählbar unendlich und
[mm] \summe_{i \in \IZ}^{}P({X = i}) [/mm] = 1
[mm] \summe_{i \in \IZ}^{}P({Y = i}) [/mm] = 1
Dann:
[mm] \summe_{l \in \IZ}^{}P({X=l}) [/mm] = 1 = [mm] \summe_{k \in \IZ}^{}P({X + Y = k}) [/mm] = [mm] \summe_{k \in \IZ}^{}P({l + Y = k})
[/mm]
= [mm] \summe_{k \in \IZ}^{}P({Y = k - l})
[/mm]
Ich habe auch bemerkt, dass
X + Y = k [mm] \gdw [/mm] X = 0 und Y = k
oder
X = 1 und Y = k - 1
oder
.
.
.
oder
X = k und Y = 0
Wie kann ich weitergehen? Bitte geben Sie mir einen Tipp.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 Fr 18.05.2007 | | Autor: | wauwau |
ich würde das anders argumentiern
[mm]\{x,y \in \Omega | x+y=k\}=\bigcup_{l \in \IZ}^{}\{x,y \in \Omega | x=l , y=k-l\} = \bigcup_{l \in \IZ}^{}\{x \in \Omega | x=l \} \cap \{y \in \Omega | y=k-l\} [/mm]
wendest du nun das (Wahrscheinlichkeits) Maß auf diese Mengengleichen an, ergibt dies , da unabhängige Variablen vorausgesetzt wurden und die vorkommenden Mengen disjunkt sind, das gewünschte ergebnis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Fr 18.05.2007 | | Autor: | zerocool |
Danke für deine Antwort. Aber ich möchte eine Frage stellen:
Du hast geschrieben:
P({x,y [mm] \in \Omega [/mm] : x+y=k})
und hier, es geht um
P({w [mm] \in \Omega [/mm] : X(w) + Y(w) = k}) , wobei k [mm] \in \IZ
[/mm]
und
X(w) : [mm] \Omega [/mm] -> [mm] \IZ
[/mm]
Y(w) : [mm] \Omega [/mm] -> [mm] \IZ
[/mm]
d.h sind Abbildungen
Warum betrachtest du x,y [mm] \in \Omega [/mm] und x+y = k, wobei k [mm] \in \IZ [/mm] ?
Meinst du, dass [mm] \Omega \subseteq \IZ?
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Fr 18.05.2007 | | Autor: | zerocool |
Für : wauwau
Jetzt verstehe ich :
{ [mm] \omega \in \Omega [/mm] | [mm] X(\omega) [/mm] + [mm] Y(\omega) [/mm] = k } =
[mm] \bigcup_{l \in \IZ}^{} [/mm] { [mm] \omega \in \Omega [/mm] | [mm] X(\omega) [/mm] = l, [mm] Y(\omega) [/mm] = k - l } =
[mm] \bigcup_{l \in \IZ}^{} [/mm] { [mm] \omega \in \Omega [/mm] | [mm] X(\omega) [/mm] = l } [mm] \cap [/mm] { [mm] \omega \in \Omega [/mm] | [mm] Y(\omega) [/mm] = k - l }
Da { [mm] \omega \in \Omega [/mm] | [mm] X(\omega) [/mm] = l } und { [mm] \omega \in \Omega [/mm] | [mm] Y(\omega) [/mm] = k - l } paarweise disjunkt sind und
wir können die [mm] \sigma [/mm] - Additivität des Wahrscheinlichkeitsmaßes anwenden.
Jetzt macht alles Sinn. Vielen, vielen dank für die Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:43 Sa 19.05.2007 | | Autor: | wauwau |
Sehr richtig - ich war etwas schlampig in meiner Skizze...
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