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| Aufgabe | Zeigen Sie das Gesetz von Snellius: Ist ein Brechungsindex von x unabhängig (d.h. n(x,y) = n(y) ), dann gilt:
n(y) * [mm] sin(\alpha) [/mm] = const.
Hierbei ist [mm] \alpha [/mm] der Winkel zwischen der y-Achse und der Tangente im Punkt (x,y) an die Bahnkurve. |
Hallo!
Wir sollen diese Aufgabe mit Hilfe eines in einer vorigen Aufgabe gezeigten Prinzips lösen. Da habe ich jetzt schon gezeigt, dass gilt: für
[mm] \bruch{ \partial F}{\partial y} [/mm] (x,y,y') - [mm] \bruch{d}{dx} \bruch{\partial F}{\partial y'} [/mm] (x,y,y') = 0 und F nicht von x abhängig gilt:
F(y,y') - y'* [mm] \bruch{\partial F}{\partial y'} [/mm] y,y = const.
Jezt weiß ich aber nicht wie ich das Prinzip übertragen soll! Wäre super wenn mir jemand helfen könnte! Danke!
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Hallo
Das Fermat Prinzip besagt, dass das Licht den schnellsten Weg wählt (in bestimmten Fällen auch den langsamsten).
Du musst also die Zeit minimieren.
F ->t
Ich hoffe das hilft dir weiter.
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Das hatte ich eigentlich auch so ähnlich vermutet, aber ich habe doch in den Gleichungen [mm] (\bruch{\partial F}{\partial y}...) [/mm] gar kein t...???!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:01 Fr 23.06.2006 | | Autor: | chrisno |
Der Brechungsindex hat etwas mit der Lichtgeschwindigkeit zu tun. Die Geschwindigkeit liefert Dir die Zeit.
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Die Aufgabe wurde von einem unterbelichteten ... gestellt, der nicht in der Lage ist, das auszudrücken, was er meint:
Ein Lichtstrahl durchquert ein Aquarium, das mit Zuckerwasser gefüllt ist. Da das Wasser abgestanden ist, ist die Zuckerkonzentration in verschiedenen Höhen verschieden hoch (aber in gleichen Höhen gleich hoch). Da die Brechzahl von der Zuckerkonzentration abhängt, ist n ebenfalls Höhen-, nicht aber Seitenabhängig (daher n(x,y)= n(y)).
Wegen der unterschiedlichen Brechzahl in verschiedenen Höhen wird der Strahl gekrümmt. Dafür ist die Behauptung zu beweisen.
Geht man von einer oder ganz vielen sprunghaften Änderung von n in verschiedenen Höhen aus, ist der Beweis ganz einfach:
Zeichne irgendeine waagerechte Linie (Grenze zwischen verschiedenen n-Werten), von schräg links oben einen geradlinigen Lichtstrahl bis zu dieser Grenze, danach seine Fortsetzung, aber nach unten abgeknickt (unten sei n größer als oben). Durch den Knickpunkt des Lichtstrahls zeichne eine Parallele zur y-Achse = Lot auf Grenzfläche. Der Winkel oben zwischen diesem Lot und dem Lichtstrahl sei Alpha 1, unten entsprechend Alpha 2. Nach dem dir bekannten Brechungsgesetz ist nun nunten/noben=
sin(Alpha1)/sin(Alpha2) oder nunten*sin(Alpha2)=noben*sin(Alpha1). Baut man nun eine Kaskade mehrerer solcher Trennflächen ein, hat immer n*sin(Alpha) für jeden Bereich den selben Wert, ist also somit konstant.
Nach diesen Ausführungen ist zumindest jetzt der "Vorgang" klar. Zu beweisen wäre "nur" noch das o.a. Brechungsgesetz mit Hilfe des Gesetzes von Fermat.
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