Fibonacci-Funktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:35 Mo 03.12.2007 | | Autor: | golem |
| Aufgabe | | Zu beweisen ist, dass fib(n) di ganze Zahl ist, die am nächsten zu Φ^n/√5 liegt, wobei Φ= (1+√5)/2). |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:(http://www.uni-protokolle.de/foren/viewtopic.php?p=1287044#1287044)
Durch einen Tipp bin ich auch weitergekommen, aber jetzt stockt es wieder :)
Ich muss zeigen, dass:
fib(n)= (Φ^n - Ψ^n)/√5
wenn Ψ=(1-√5)/2
Wenn ich einsetze kommt ja folgendes raus:
fib(n) = [mm] [((1+√5)/2)^n [/mm] - [mm] ((1-√5)/2)^n] [/mm] / √5
fib(n)= [mm] (2/√5)*((1+√5)/2)^n [/mm]
Doch wie muss ich jetzt weiter vorgehen, um die Aufgabenstellung zu beantworten?
Vielleicht kann mir ja jemand weiter helfen.
Gruß golem
|
|
| |
|
Hallo,
ich würde es an deiner Stelle mit vollständiger Induktion versuchen. Als Basisfälle dienen n=0 und n=1 und dann versuchst du zu zeigen, dass du über die Definition fib(n+2) = fib(n+1) + fib(n) und deine Formel für fib(n) bzw. fib(n+1) auf den entsprechenden Ausdruck für n+2 kommst.
Tipp:
Versuch mal, [mm] $\phi^2$ [/mm] und [mm] $\psi^2$ [/mm] nur durch Addition von [mm] $\phi$ [/mm] bzw. [mm] $\psi$ [/mm] und einem konstanten Term auszudrücken.
Gruß
Martin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Mo 03.12.2007 | | Autor: | golem |
Das heist ich soll sozusagen
fib(n+2) = fib(n+1) + fib(n)
umgestellt:
fib(n) = fib(n+2) - fib(n+1)
Formel für fib(n) einsetzen:
[mm] (2/√5)*((1+√5)/2)^n [/mm] = [mm] [(2/√5)*((1+√5)/2)^n+2] [/mm] - [mm] [(2/√5)*((1+√5)/2)^n+1]
[/mm]
berechnen?
Deinen Tipp habe ich leider nicht verstanden.
Danke, aber schonmal.
Gruß golem
|
|
|
| |
|
Hallo,
nein, so war das nicht gemeint.
Du sollst rechnen:
$f(n+2) = f(n+1) + f(n) [mm] \overset{I.V.}{=} \frac{\phi^{n+1}-\psi^{n+1}}{\wurzel{5}} [/mm] + [mm] \frac{\phi^{n}-\psi^{n}}{\wurzel{5}} [/mm] = ... = [mm] \frac{\phi^{n+2}-\psi^{n+2}}{\wurzel{5}}$.
[/mm]
Deine Aufgabe ist nun die Lücke mit den drei Punkten zu füllen, also die passenden Umformungen zu finden.
Und natürlich der Induktionsanfang. Aber das ist, denke ich, klar.
Gruß
Martin
|
|
|
|
