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Filtration Münzwurf: Korrektur, Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:08 Do 09.01.2020
Autor: TS85

Aufgabe
Eine Spielerin hat zum Zeitpunkt 0 ein Vermögen von 4 Geldeinheiten (GE). Sie spielt Münzwerfen mit einer fairen Münze und erhält für Zahl 1 GE, sonst verliert sie 1 GE. Die aufeinanderfolgenden Würfe sind unabhängig voneinander. Es werden vier Durchgänge gespielt. Bestimmen Sie die Filtration und zeigen sie, dass es sich bei dem Spiel um ein Martingal handelt.


Die Zeitpunkte sind [mm] \tau=\{t_0,t_1,t_2,t_3,t_4\}. [/mm]
Der stochastische Prozess des Münzwurfes ist zu jedem Zeitpunkt [mm] t_i \in \tau: [/mm]

[mm] X_t=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } \mbox{ Zahl} \\ -1, & \mbox{falls } \mbox{ Kopf} \end{cases} [/mm]

und [mm] Z_{t_0}=4 [/mm] (Spielstand zu Beginn).

[mm] \Omega:=\{Zahl,Kopf\}, \Omega':=\{1,-1\} [/mm]

Meine Frage bezieht sich nun auf die Filtration [mm] (\xi). [/mm]
Da pro Runde immer entweder +1 oder -1 gewonnen wird, sind die
Werte [mm] (Z_{t_4}) [/mm] der Pfade in Runde 4 [mm] \{8,6,4,2,0\}, [/mm] d.h. es können nur gerade Vermögensstände eintreten.
[mm] \xi_1=\{\emptyset,\Omega\} [/mm]

[mm] \xi_2=\{\emptyset,F_1^{(2)},F_2^{(2)},\Omega \} [/mm]
mit [mm] F_1^{(2)}=\{8,6,4,2\} [/mm] (da (nach [mm] X_1=1) Z_t_4=0 [/mm] nicht mehr erreichbar)
und [mm] F_2^{(2)}=\{6,4,2,0\} [/mm] (umgekehrt)

[mm] \xi_3=\{\emptyset,F_1^{(3)},F_2^{(3)},F_3^{(3)},F_1^{(3)}\cup F_2^{(3)},F_1^{(3)}\cup F_3^{(3)},F_2^{(3)}\cup F_3^{(3)},\Omega\} [/mm]

mit [mm] F_1^{(3)}=\{8,6,4\}, F_2^{(3)}=\{6,4,2\}, F_3^{(3)}=\{4,2,0\} [/mm]
und z.B. [mm] F_1^{(3)}\cup F_2^{(3)}=F_1^{(2)} [/mm]

Auf diese Weise müsste dies dann fortgeführt werden bis zu [mm] \xi_5, [/mm] was
dann [mm] |\xi_5|=2^5=32 [/mm] bedeuten würde.

Ist das bisherige Aufgeführte richtig und würde jemand, der die Aufgabe vervollständigt wirklich [mm] \xi_5 [/mm] gesamt aufschreiben?

Der Beweis:
Da es sich um eine faire Münze handelt, ist der Erwartungswert jedes Gewinns
gleich 0, d.h. es gilt [mm] E(X_t)=0 \forall [/mm] t in [mm] \tau. [/mm]  Startkapital [mm] Z_{t_0}=4 [/mm] , das Kapital nach dem ersten Durchgang beträgt [mm] Z_1=X_{t_0} [/mm] + [mm] X_1. [/mm] Allgemein gilt
dementsprechend [mm] Z_n=Z_0+\summe_{t=1}^{n}X_t. [/mm]
Da der nächste Gewinn unabhängig von den vorherigen Würfen ist, gilt [mm] Z_4=Z_3+X_4 [/mm] und unter Berücksichtigung aller zur Verfügung stehenden Informationen lässt sich dies mit den bedingten Erwartungswerten darstellen:
[mm] E(Z_4|Z_0,...,Z_3)=E(Z_3|Z_0,...,Z_3)+E(X_4|Z_0,...,Z_3)+Z_3+E(X_4)=Z_3. [/mm]  Dasselbe gilt dann übetragen auch für [mm] E(Z_3|...),... [/mm]
Daraus folgt, dass das Spiel ein Martingal ist.

Ein anderer Vorgang wäre das mathematische Ausführen der Notation mit Anwendung der Turmregel, was vermutlich allerdings hier nicht gefordert ist (da in nächsten Aufgabe präziser Beweis gefordert dazu).

Da ich keine Punkte zu verschenken habe und nicht riskieren möchte, dass ich einem Trugschluss aufgesessen bin, wäre eine Korrektur nett.

        
Bezug
Filtration Münzwurf: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:53 Do 09.01.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

ei ei ei ei, Notation, Notation, Notation!

>  Die Zeitpunkte sind [mm]\tau=\{t_0,t_1,t_2,t_3,t_4\}.[/mm]

Dann sei das so.

>  Der stochastische Prozess des Münzwurfes ist:
>  
> [mm]X_t=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } n \mbox{ Zahl} \\ -1, & \mbox{falls } n \mbox{ Kopf} \end{cases}[/mm]

Was ist t, was ist n?
(Ja, ich kann mir vorstellen, was gemeint ist, aber: NOTATION!)


> und [mm]Z_t_0=4[/mm] (Spielstand zu Beginn).

Wenn du einen Index indizieren willst, setze bitte geschweifte Klammern drum.
Du meinst: Z_{t_0}=4, das wird zu [mm] $Z_{t_0}=4$ [/mm]

> [mm]\Omega:=\{Zahl,Kopf\}, \Omega':=\{1,-1\}[/mm]

Ok, dann sind deine Xe wohl Abbildungen von [mm] \Omega [/mm] nach [mm] $\Omega'$, [/mm] und von wo nach wo bildet Z ab?

> Meine Frage bezieht sich nun auf die Filtration [mm](\xi).[/mm]
>  Da pro Runde immer entweder +1 oder -1 gewonnen wird, sind
> die  Werte [mm](Z_t_4)[/mm] der Pfade in Runde 4 [mm]\{8,6,4,2,0\},[/mm] d.h. es
> können nur gerade Vermögensstände eintreten.

Soweit klar.

>  [mm]\xi_1=\{\emptyset,\Omega\}[/mm]
>  
> [mm]\xi_2=\{\emptyset,F_1^{(2)},F_2^{(2)},\Omega \}[/mm]
>  mit
> [mm]F_1^{(2)}=\{8,6,4,2\}[/mm] (da (nach [mm]X_1=1) Z_t_4=0[/mm] nicht mehr
> erreichbar)
>  und [mm]F_2^{(2)}=\{6,4,2,0\}[/mm] (umgekehrt)

Deine Filtration muss doch eine Teilmenge der Potenzmenge von [mm] \Omega [/mm] sein.
Du hast oben gesetzt: [mm] $\Omega:=\{Zahl,Kopf\}$ [/mm]
Wie sieht nun die Potenzmenge von [mm] $\Omega$, [/mm] also [mm] $\mathcal{P}(\Omega)$ [/mm] aus?
Wie könnte dann höchtens deine Filtration aussehen?

Ist deine Wahl von [mm] $\Omega$ [/mm] damit sinnvoll?

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Filtration Münzwurf: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:49 Do 09.01.2020
Autor: TS85

Manchmal bin ich etwas blind beim drüber lesen.. das n kam von der vorgefertigten Formel des Editors.

[mm] \xi_1=\{\emptyset,\Omega\} [/mm]
[mm] \xi_2=\{\emptyset,Kopf,Zahl,\Omega\} [/mm]
[mm] =\xi_3=\{\emptyset,Kopf,Zahl,\Omega\} [/mm]
was hier vermutlich so überhaupt nicht passt.
Vermutlich wäre dann die Definition eines Zustandsraums [mm] \Omega=\{(a_1,a_2,a_3,a_4)|a_i \in \{Kopf,Zahl\},i=1,...,4\} [/mm] notwendig?

Andersherum:
D.h. [mm] \Omega [/mm] ist [mm] \{8,6,4,2,0\}? [/mm]
Vermutlich wäre es dann korrekter von [mm] \Omega=\{\omega_1,...,\omega_5\} [/mm]
als Zustandsraum zu reden und von [mm] Z_t [/mm] als Vermögensstand zum Zeitpunkt t im Zustand [mm] \omega \in \Omega, [/mm] d.h. z.B. [mm] X(\omega_1)=8 [/mm] wäre ein Pfad von X.

Die Filtration betrachtet nur die Pfade, welche vom aktuelle Standpunkt aus in t mit Vermögensstand [mm] Z_t [/mm] noch erreichbar sind (in [mm] t_4=4)? [/mm]

Genau wegen der Notation des Skripts/Vorlesung komme ich auch zu dieser Frage, weil die Definitionen teils etwas durcheinander/irreführend sind (vermutlich gewollt oder sie wirken so auf mich).


Bezug
                        
Bezug
Filtration Münzwurf: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:38 Do 09.01.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> [mm]\xi_1=\{\emptyset,\Omega\}[/mm]
>  [mm]\xi_2=\{\emptyset,Kopf,Zahl,\Omega\}[/mm]
>  [mm]=\xi_3=\{\emptyset,Kopf,Zahl,\Omega\}[/mm]
>  was hier vermutlich so überhaupt nicht passt.

Korrekt.

>  Vermutlich wäre dann die Definition eines Zustandsraums
> [mm]\Omega=\{(a_1,a_2,a_3,a_4)|a_i \in \{Kopf,Zahl\},i=1,...,4\}[/mm]
> notwendig?

Ja, das sieht schon besser aus!
Mit anderen Worten: [mm] $\{\text{Kopf},\text{Zahl}\}^4$ [/mm]
Und da sich Worte nachher echt blöd machen in Mengen, schreiben wir doch gleich  [mm] $\{1,-1\}^4$ [/mm]

>  
> Andersherum:
>  D.h. [mm]\Omega[/mm] ist [mm]\{8,6,4,2,0\}?[/mm]

Du meinst vermutlich (*seufz* Notation):  [mm]\Omega' = \{8,6,4,2,0\}[/mm], wenn du die Ergebnisse von [mm] $Z_4$ [/mm] meinst. Aber dann hast brauchst du einen seperaten Zustandsraum für bspw. [mm] $Z_1$. [/mm]
Da wäre es doch viel sinniger dann doch gleich [mm] $\Omega' [/mm] = [mm] \{1,\ldots,8\}$ [/mm] zu nehmen, da kannst du dann alle [mm] $Z_t$ [/mm] drauf abbilden.

>  Vermutlich wäre es dann korrekter von
> [mm]\Omega=\{\omega_1,...,\omega_5\}[/mm]

Was sind nun wieder [mm] $\omega_1,\ldots,\omega_5$? [/mm]
Wenn du schon einzelne Elemente von [mm] $\Omega$ [/mm] benennen willst, dann doch bitte so viele, wie [mm] $\Omega$ [/mm] Elemente hat… das wären [mm] $2^4 [/mm] = 16$ und nicht nur 5.
(Kleine Quizfrage für später: Wie viele Elemente enthält dann die Potenzmenge?)

>  als Zustandsraum zu reden und von [mm]Z_t[/mm] als Vermögensstand
> zum Zeitpunkt t im Zustand [mm]\omega \in \Omega,[/mm]

Ja, das wäre Sinnig.

d.h. z.B.

> [mm]X(\omega_1)=8[/mm] wäre ein Pfad von X.

Du meinst bestimmt [mm] $Z(\omega_1) [/mm] = 8$ (*seufz* NOTATION)
Und dann nennt man [mm] $Z_0(\omega_1), Z_1(\omega_1),\ldots,Z_4(\omega_1)$ [/mm] einen Pfad von Z.

Kannst du denn, wenn wir die Definition [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \{1,-1\}^4$ [/mm] nehmen, schlussfolgern, wie [mm] $Z_t(\omega_i)$ [/mm] aussieht nur in Abhängigkeit von [mm] $\omega_i$? [/mm]


> Die Filtration betrachtet nur die Pfade, welche vom
> aktuelle Standpunkt aus in t mit Vermögensstand [mm]Z_t[/mm] noch
> erreichbar sind (in [mm]t_4=4)?[/mm]

Hm nein… erst mal: Es gibt nicht die Filtration.
Was ihr meint, ist die sogenannte natürliche Filtration in Bezug auf Z.

Diese Filtration zum Zeitpunkt t enthält sämtliches Wissen über Z bis zum Zeitpunkt t, aber nicht mehr(!).
Was bedeutet das?

Nehmen wir bspw. den ersten Zeitpunkt [mm] $Z_1$. [/mm]
Welche Werte kann [mm] Z_1 [/mm] annehmen? 5 und 3…

1.) Ist [mm] $Z_1 [/mm] = 5$, so wissen wir, dass unser Pfad mit einer 1 beginnt. D.h. die Sigma-Algebra [mm] \xi_1 [/mm] unser Filtration enthält die Menge aller Pfade, die mit einer 1 beginnen und deren Komplement (da [mm] $\sigma$-Algebra). [/mm]

2.) Ist [mm] $Z_1 [/mm] = 3$, so wissen wir, dass unser Pfad mit einer -1 beginnt. D.h. die Sigma-Algebra [mm] \xi_1 [/mm] unser Filtration enthält die Menge aller Pfade, die mit einer -1 beginnen und deren Komplement (da [mm] $\sigma$-Algebra). [/mm]

Die Menge aller Pfade, die nun mit [mm] $\pm [/mm] 1$ beginnen, kann man nun aufschreiben, in dem man jeweils alle 8 Elemente der Mengen hinschreibt (mach das als Übung doch mal), oder man schreibt es in den Kurzformen: [mm] $\{\omega\in\Omega: \omega_1 = 1\}, \{\omega\in\Omega: \omega_1 = -1\}$ [/mm]

Mit obigem wäre [mm] $\xi_1$ [/mm] dann somit:

[mm] $\xi_1 [/mm] = [mm] \left\{\emptyset, \Omega, \{\omega\in\Omega: \omega_1 = 1\}, \{\omega\in\Omega: \omega_1 \not= 1\}, \{\omega\in\Omega: \omega_1 = -1\}, \{\omega\in\Omega: \omega_1 \not= -1\}\right\}$ [/mm]

Nun mach das mal für [mm] $\xi_2$ [/mm]

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Filtration Münzwurf: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 15:03 Do 09.01.2020
Autor: TS85

Ich habe es auf diese Weise jetzt verstanden, wobei mich die neue Notation (am Ende) zuerst etwas verwirrt hat..
Hatte zuerst die richtige Lösung, bin dann durch eine andere Aufgabe etwas verwirrt worden, wodurch ich plötzlich nur noch die Endwerte der Pfade für die Filtration beachtet habe anstelle der einzelnen Pfade an sich. Dank eines Papers habe ich die richtige Notation gefunden für das richtige formale Ausschreiben mit
den einzelnen [mm] \omega [/mm] -Werten

Bezug
                                        
Bezug
Filtration Münzwurf: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:30 Fr 10.01.2020
Autor: Gonozal_IX

Also gehe ich mal davon aus, dass du keine Fragen mehr hast…

Gruß,
Gono

Bezug
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