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First-Step Analyse (Markov): Tipp
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 21:49 Mo 11.05.2020
Autor: mathe_thommy

Aufgabe
Sei [mm] $(X_{n})_{\in \IZ _{+}}$ [/mm] eine Markovkette auf dem Zustandsraum [mm] $S=\{0,1,2,3\}$ [/mm] mit der Übergangsmatrix $P= [mm] \pmat{ 0.5 & 0.5 & 0 & 0 \\ 0.5 & 0 & 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 & 0.5 \\ 0 & 0 & 0.5 & 0.5 }$. [/mm] Berechne [mm] $E_{j}(T_{\{3\}})$ [/mm] für alle $j [mm] \in [/mm] S [mm] \setminus \{3\}$ [/mm] und [mm] $E_{j}(T_{\{2\}})$ [/mm] für alle $j [mm] \in [/mm] S [mm] \setminus \{2\}$ [/mm] durch Auflösen nach dem ersten Schritt (first step analysis), wobei [mm] $T_{\{3\}}:=inf\{n \ge 0: X_{n} = 3\}$. [/mm]

Guten Tag!

Ich habe Schwierigkeiten damit, die beiden oben benannten Erwartungswerte zu berechnen und würde mich sehr über Unterstützung freuen. Bisher habe ich für den ersten Erwartungswert, [mm] $E_{j}(T_{\{3\}})$, [/mm] Folgendes ausprobiert.

Ich berechne zunächst die folgenden Einzelwerte, um lineare Gleichungen für ein LGS zu erhalten.
(I) [mm] $h_{3}(0)=1+\bruch{1}{2}h_{3}(1)$ [/mm]
(II) [mm] $h_{3}(1)=1+\bruch{1}{2}h_{3}(0)+\bruch{1}{2}h_{3}(2)$ [/mm]
(III) [mm] $h_{3}(2)=1+\bruch{1}{2}h_{3}(1)$ [/mm]

Wenn ich nun (I) und (III) in (II) einsetze, erhalte ich: [mm] $h_{3}(1)=4, h_{3}(2)=h_{3}(0)=3$. [/mm] Ist das bis zu dieser Stelle korrekt und falls ja, wie fahre ich nun fort mit der Berechnung des Erwartungswertes?

Vielen Dank im Voraus und beste Grüße
mathe_thommy

        
Bezug
First-Step Analyse (Markov): Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:20 Mi 13.05.2020
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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