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Fixpunkt: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 11:01 Mo 28.08.2006
Autor: Ande

Aufgabe
Es sei f: X-> X auf einem kompakten, metrischen Raum (X,d) eine schwache Kontraktion, d.h. d(f(x),f(y)))<d(x,y) (also nicht notwendigerweise eine Kontraktion). Zeige, dass f einen eindeutigen Fixpunkt besitzt.

Wir haben zum Thema Fixpunkte nur gelernt, dass eine Kontraktion einen eindeutigen Fixpunkt besitzt. Da es sich bei dieser Abbildung aber um eine schwache Kontraktion handelt, habe ich keine Ahnnung, wie ich die Aufgabe lösen soll. Ich bin für jede Hilfe äusserst dankbar!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Fixpunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:47 Mo 28.08.2006
Autor: Christian

Ich hab da mal eine Frage:

> Es sei f: X-> X auf einem kompakten, metrischen Raum (X,d)
> eine schwache Kontraktion, d.h. d(f(x),f(y)))<d(x,y) (also
> nicht notwendigerweise eine Kontraktion). Zeige, dass f
> einen eindeutigen Fixpunkt besitzt.

Wo ist der Unterschied zu einer []Kontraktion?

Gruß,
Christian
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Fixpunkt: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 08:04 Di 29.08.2006
Autor: Ande

Die Definition einer Kontraktion lautet doch: f: X-> X in einem metrischen Raum heisst kontrahierend, falls eine Konstante a<1 existiert, dass
[mm] $d(f(x),f(y))\le [/mm] a*d(x,y)$. In dieser Aufgabe fehlt das a.
Bezug
                        
Bezug
Fixpunkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:10 Di 29.08.2006
Autor: Ande

Ich wäre immer noch sehr froh für eine Antwort!
Bezug
                
Bezug
Fixpunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:45 Do 31.08.2006
Autor: Ande

Könnte mir bitte jemand ganz schnell helfen?
Ich kriege diese Aufgabe einfach nicht gelöst... Ich habe versucht, zu zeigen, dass diese Kontraktion einen Grenzwert besitzt, denn dieser wäre ja dann ein Fixpunkt, aber das klappt nicht und sonst weiss ich nicht weiter. Ich wäresehr froh für eine schnelle Antwort! (immer noch dieselbe Aufgabe wie zu Beginn der Diskussion)

Bezug
                        
Bezug
Fixpunkt: Kompaktheit nutzen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:02 Do 31.08.2006
Autor: mathemaduenn

Hallo Ande,
Der Unterschied zum Banachschen FPS ist ja das da nichts von kompakt steht. Also kann man versuchen aus Kompaktheit von x und der Ungleichung d(f(x),f(y))<d(x,y) zu folgern das es solch ein L<1 gibt.
viele Grüße
mathemaduenn
Bezug
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