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| Aufgabe | | Zeigen Sie: Ist die Funktion f : [a,b]→R kontraktiv auf [a,b], so ist sie auf [a,b] stetig |
Hallo
Ich habe leider keine Ahnung wie das gehen soll. Ich habe die Vorlesung und die Sätze nachgearbeitet und weiss nicht mal ansatzweise wie das gehen soll.
Bis denne, Matthias
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Was bedeutet "kontraktiv"? Das heißt doch
[mm]\exists \lambda: 0 \le \lambda <1 &\mbox{ so, dass } |f(x) - f(y)| \le \lambda |x-y| [/mm]
Jetzt schau dir mal die [mm] \epsilon-\delta-Definition [/mm] der ![[]](/images/popup.gif) Stetigkeit an. Was passiert, wenn man [mm] \delta=\epsilon [/mm] setzt?
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Hallo
Danke für deinen Tipp. Die Definition von Kontraktion ist klar. Das Problem ist die Delta-Epsilon Sache: Diese Definition hatte unser Prof leider nicht in der Vorlesung behandelt, sind mir also vollkommen unbekannt. Die einzige Definition von Stetigkeit ist die im Wikipedia-Artikel als Folgenkriterium bezeichnete Definition. Von daher. Werd ich wohl auch nicht das unbekannte Kriterium benutzen dürfen.
Gruß Matthias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo
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> Danke für deinen Tipp. Die Definition von Kontraktion ist
> klar. Das Problem ist die Delta-Epsilon Sache: Diese
> Definition hatte unser Prof leider nicht in der Vorlesung
> behandelt, sind mir also vollkommen unbekannt. Die einzige
> Definition von Stetigkeit ist die im Wikipedia-Artikel als
> Folgenkriterium bezeichnete Definition. Von daher. Werd ich
> wohl auch nicht das unbekannte Kriterium benutzen dürfen.
doch, könntest Du, indem Du beweist (und selbst, wenn man das nicht selbst hinbekommt, findet man da sicherlich mit ein wenig stöbern einen Beweis), dass diese beiden Definitionen äquivalent sind. Aber das brauchst Du hier gar nicht:
Sei $f: [a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] kontraktiv mit (Kontraktivitätskonstante? [mm] $\leftarrow$ bezeichnet man die so?) $\lambda=\lambda_f \in [0,1)$. Zu zeigen ist: $f$ ist stetig. D.h.:
Für jedes $x_0 \in [a,b]$ ist zu zeigen:
Für jede Folge $(x_n)_n$ in $[a,b]$ mit $x_n \to x_0$ folgt:
$f(x_n) \to f(x_0)$ (jeweils bei $n \to \infty$).
Sei also $x_0 \in [a,b]$ beliebig, aber fest. Sei weiterhin $(x_n)_n$ irgendeine Folge in $[a,b]$ mit $x_n \to x_0$ bei $n \to \infty$.
Jetzt überlege Dir, was wegen der Kontraktivität für $|f(x_n)-f(x_0)|$ folgt, wenn $n \to \infty$...
Am Ende sollte da vll. noch stehen:
Weil $(x_n)_n$ irgendeine Folge in $[a,b]$ mit $x_n \to x_0$ war, gilt das für jede Folge mit dieser Eigenschaft. Weil $x_0 \in [a,b]$ beliebig war, ist $f$ stetig in allen $x_0 \in [a,b]$, d.h. $f$ ist stetig auf...
Gruß,
Marcel
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:06 So 27.04.2008 | | Autor: | youngindy |
Hi Marcel.
Vielmals Danke. Jetzt hab ichs auch. 
Gruß Matthias
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