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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:38 Fr 28.01.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Sei [mm] A=\pmat{ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 4 & 1 } \in \IQ^{3 \times 4}. [/mm] Man bestimme die Fixpunkte und eine Basis der Fixpunkte. |
Guten Morgen,
ich hab mir die Aufgabe selbst überlegt um zu üben.
Nun, zuerst bestimme ich die Fixpunkte.Dafür hab ich folgendes LGS:
1. [mm] 2x_{3}+x_{4}=x_{1}
[/mm]
2. [mm] x_{1}-x_{4}=x_{2}
[/mm]
3. [mm] x_{1}+4x_{3}+x_{4}=x_{3}
[/mm]
Löse ich das LGS habe ich [mm] Fix(A)=x_{2}*\vektor{1 \\ 1 \\ 0.5 \\ 0}+x_{4}*\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}.
[/mm]
Eine Basis der Fixpunkte ist dann einfach [mm] (\vektor{1 \\ 1 \\ 0.5 \\ 0},\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}) [/mm] und die Dimension ist 2.
Stimmt das so bis hier hin?
Wenn ich aber Fixpunkte habe, dann hab ich auch Eigenvektoren zum Eigenwert 1. Also wäre doch der Eifenraum zum Eigenwert 1 auch die Menge der Fixpunkte oder? Und ich könnte eine Basis dieses Eigenraums bestimmen. Das wollte ich mal machen. Dazu muss ich rechnen:
1*E-A auf Stufenform bringen (E ist die Einheitsmatrix).
Das Problem ist, dass A keine quadratische Matrix ist, E aber schon.
Wie interpretiere ich das nun, denn ich kann ja E-A gar nicht berechnen. Bedeutet das jetzt, dass A keine Fixpunkte hat, oben hab ich aber Fixpunkte rausgekriegt. Oder kann man hier wieder irgendwelche Nullzeilen einfügen?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:48 Fr 28.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]A=\pmat{ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 4 & 1 } \in \IQ^{3 \times 4}.[/mm]
> Man bestimme die Fixpunkte und eine Basis der Fixpunkte.
> Guten Morgen,
>
> ich hab mir die Aufgabe selbst überlegt um zu üben.
>
> Nun, zuerst bestimme ich die Fixpunkte.Dafür hab ich
> folgendes LGS:
>
> 1. [mm]2x_{3}+x_{4}=x_{1}[/mm]
> 2. [mm]x_{1}-x_{4}=x_{2}[/mm]
> 3. [mm]x_{1}+4x_{3}+x_{4}=x_{3}[/mm]
>
> Löse ich das LGS habe ich [mm]Fix(A)=x_{2}*\vektor{1 \\ 1 \\ 0.5 \\ 0}+x_{4}*\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}.[/mm]
>
> Eine Basis der Fixpunkte ist dann einfach [mm](\vektor{1 \\ 1 \\ 0.5 \\ 0},\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 1})[/mm]
> und die Dimension ist 2.
>
> Stimmt das so bis hier hin?
Ja
>
> Wenn ich aber Fixpunkte habe, dann hab ich auch
> Eigenvektoren zum Eigenwert 1. Also wäre doch der
> Eifenraum zum Eigenwert 1 auch die Menge der Fixpunkte
> oder?
Nein. Die Begriffe Eigenwert / Eigenvektor sind nur für quadratische Matrizen definiert
Der Nullvektor ist immer Fixvektor, aber nie Eigenvektor
> Und ich könnte eine Basis dieses Eigenraums
> bestimmen. Das wollte ich mal machen. Dazu muss ich
> rechnen:
>
> 1*E-A auf Stufenform bringen (E ist die Einheitsmatrix).
>
> Das Problem ist, dass A keine quadratische Matrix ist, E
> aber schon.
> Wie interpretiere ich das nun,
Siehe oben.
FRED
> denn ich kann ja E-A gar
> nicht berechnen. Bedeutet das jetzt, dass A keine Fixpunkte
> hat, oben hab ich aber Fixpunkte rausgekriegt. Oder kann
> man hier wieder irgendwelche Nullzeilen einfügen?
>
> Vielen Dank
> lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:51 Fr 28.01.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Ach stimmt ja, Eigenwerte gibts nur für quadratische Matrizen.
Ok,alles klar.
Vielen Dank
lg
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