Flache Funktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:13 Di 26.06.2007 | | Autor: | E-Storm |
| Aufgabe | Sei die Funktion f : [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] gegeben durch
[mm] f(x)=\begin{cases} e^{-1/x^2}, & \mbox{für } x \not= 0 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
Zeige mit Hilfe vollständiger Induktion, dass es für alle n [mm] \in \IN [/mm] jeweils ein Polynom [mm] p_{3n} [/mm] vom Grad < 3n gibt, so dass für die n-te Ableitung von f gilt [mm] f^{(n)}(x) [/mm] = [mm] p_{3n}(1/x)*e^{-1/x^2} [/mm] für x [mm] \not= [/mm] 0
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Ich finde einfach keinen Zugang zu dieser Aufgabe, ich wäre sehr dankbar, wenn mir einer einen Tipp geben könnte, wie ich mit dieser Aufgabe anfangen soll. Momentan weiß ich nicht mal ansatzweise wie ich beginnen sollte.
Mfg E-Storm.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:50 Di 26.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Ja, halt einfach Induktion benutzen:
i) Induktionsanfang n=1:
[mm] f'(x)=\bruch{2}{x^{3}}\exp(-x^{-2}).
[/mm]
[mm] \bruch{2}{x^{3}} [/mm] ist ein Polynom 3*n=3 dritten Grades in 1/x - die Eigenschaft gilt für n=1.
ii) Induktionsschluss: [mm] f^{n}(x)=p_{3n}(1/x)\exp(-x^{-2}). [/mm] Zeige, dass:
[mm] f^{n+1}(x)=p_{3n+3}(1/x)\exp(-x^{-2}).
[/mm]
Dazu darfst du benutzen, dass
[mm] f^{n+1}(x)=(f^{n}(x))'=(p_{3n}(1/x)\exp(-x^{-2}))'.
[/mm]
Jetzt ableiten und bist fertig.
Gurß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Fr 29.06.2007 | | Autor: | E-Storm |
| Aufgabe | Sei die Funktion f : [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] gegeben durch
[mm] f(x)=\begin{cases} e^{-1/x^2}, & \mbox{für } x \not= 0 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases} [/mm]
Bestimme die Taylor-Reihe von f um [mm] x_{0} [/mm] := 0 Für welche x konvergiert sie, und für welche x stimmt sie mit dem Funktionswert von f überein? |
Kann mir einer bei dieser Fragestellung auch noch helfen???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 Fr 29.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Es ist auf jeden Fall hilfreich, wenn du die Taylor-Entwicklung mal aufschreibst. ![[]](/images/popup.gif) Hier wird sogar genau deine Funktion als Beispiel herangezogen.
Gruß,
dormant
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