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| Aufgabe | | Berechnen Sie die Maßzahl der Fläche, die vom Graphen der Funktion f(x)=(6x+12)/(x²+4x), ihrer Wendetangente und den Geraden x=-3,5 und x=-0,5 eingeschlossen wird. |
Hallo!
Die Wendetangente ist t(x)=-1,5x-3.
Somit gilt für die gesuchte Fläche: [mm] A=\integral_{-3,5}^{-0,5}{|\bruch{6x+12}{x²+4x}+1,5x+3| dx}
[/mm]
Die Funktion ist punktsymmetrisch zu (-2|0). Deshalb gilt:
[mm] A=2*\integral_{-3,5}^{-2}{\bruch{6x+12}{x²+4x}+1,5x+3 dx}.
[/mm]
Mein Problem ist, dass ich das obige Integral nicht lösen kann. Ich habe es aufgespalten und versucht partielle Integration anzuwenden. Dabei kam ich zu keinem Ergebnis. Alle übrigen Versuche scheiterten ebenfalls.
Wie berechne ich dieses Integral?
Zur Kontrolle: Die Lösung ist [mm] A\sim1,59.
[/mm]
Vielen Dank!
MathPsycho
PS:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 Mi 13.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathpsycho!
Ich habe hier doch auch zunächst mit einer  Partialbruchzerlegung angesetzt. Aber es geht viel einfacher, wenn Du bei dem Bruch Zähler und Nenner faktorisierst:
[mm] $\bruch{6x+12}{x^2-4} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{6*(x+2)}{(x-2)*(x+2)}$
[/mm]
Ist nun der weitere Rechenweg klar?
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:28 Fr 15.12.2006 | | Autor: | mathpsycho |
Hallo Loddar!
Danke für Deine Mühe. Leider habe ich mich bei der Funktion verschrieben und die eigentliche Aufgabe ist schwieriger. Ich habe Sie gerade korrigiert.
MP
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:37 Fr 15.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathpsycho!
Dann kommst Du hier wohl doch nicht um eine Partialbruchzerlegung:
[mm] $\bruch{6x+12}{x^2+4x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{6x+12}{x*(x+4)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{x} +\bruch{B}{x+4}$
[/mm]
Kommst Du mit diesem Hinweis weiter? Anschließend die beiden Brüche separat integrieren.
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar!
Hier nun mein Lösungsversuch.
[mm] \bruch{6x+12}{x²+4x}=\bruch{6x+12}{x*(x+4}=\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x+4}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] A(x+4)+B(x)=6x+12
[mm] \Rightarrow [/mm] A=3 und B=3
[mm] $2*\integral_{-3,5}^{-2}{\bruch{6x+12}{x²+4x} dx}=2*(\integral_{-3,5}^{-2}{\bruch{3}{x} dx}+\integral_{-3,5}^{-2}{\bruch{3}{x+4} dx})=2*[3 [/mm] ln(x)+3 [mm] ln(x+4)]_{-3,5}^{-2}$
[/mm]
Um Probleme mit den Logarithmen negativer Zahlen zu vermeiden wende ich die Logarithmengesetze an.
[mm] A_{1}=3[ln(x²)+2 ln(x+4)]_{-3,5}^{-2}
[/mm]
[mm] $A_{1}=3(ln4 [/mm] +2 ln2 -(ln12.25 +2 ln0.5))$
[mm] A_{1}=4,9600
[/mm]
Fläche unter der Wendetangente: [mm] A_{2}=2*[-0,75x²-3x]_{-3,5}^{-2}=3,375
[/mm]
[mm] A=A_{1}-A_{2}=1,5851 [/mm] Stimmt!
Vielen Dank!
MathPsycho
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:03 So 17.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathpsycho!
> [mm]2*\integral_{-3,5}^{-2}{\bruch{6x+12}{x²+4x} dx}=2*(\integral_{-3,5}^{-2}{\bruch{3}{x} dx}+\integral_{-3,5}^{-2}{\bruch{3}{x+4} dx})=2*[3 ln(x)+3 ln(x+4)]_{-3,5}^{-2}[/mm]
>
> Um Probleme mit den Logarithmen negativer Zahlen zu
> vermeiden wende ich die Logarithmengesetze an.
Das geht viel einfacher und vor allen Dingen auch mathematisch sauberer .... zu den Stammfunktionen der Brüche gehören nämlich jeweils noch Betragsstriche:
[mm] $\integral{\bruch{1}{z} \ dz} [/mm] \ = \ [mm] \ln\red{|}z\red{|}+C$
[/mm]
Damit ist die Problematik der negativen Grenzen automatisch gelöst.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:19 So 17.12.2006 | | Autor: | mathpsycho |
Vielen Dank!
MP
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