Flächenbestimmung < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 Sa 12.01.2008 | | Autor: | Ruunay |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo an alle Mathekünstler in diesem Forum.
Ich habe ziemliche Panik wegen meines Fachreferates in Mathematik. Themenstellung ist die Bestimmung von Flächen zwischen zwei Graphen. An sich kein Problem - leider ist eine der Aufgabenstellungen die Präsentation einer allgemeine Herleitung.
Ich habe bereits in einem mathematischen Lexikon und in meinem Schulbuch nachgeschlagen - konnte aber diesbezüglich nichts passendes finden. Ich hoffe nun inbrünstig, dass man mir hier helfen kann - ein kleiner Gedankenstoss würde bereits vollkommen ausreichen.
Mein Ansatz wäre folgender gewesen:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{a}^{b}{f(t) dt}={G(b)}-{G(a)}+{H(b)}-{H(a)}
[/mm]
Wichtig sollte sein, dass aufgezeigt wird, dass es vollkommen unrelevant ist, wenn man die Abzissenachse entlang der Ordinatenachse verschiebt.
Nun zu meinen Fragen:
- Wie beziehe ich eben genannten Sachverhalt in die allgemeine Herleitung ein?
- War mein Ansatz bereits richtig oder weist er Fehler auf?
Vielen Dank schonmal im Vorraus,
Ruunay
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:49 So 13.01.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo Ruunay,
ich glaub deine Frage ist in ein falsches Forum gerutscht, vielleicht kann das einer der Mod. ja verschieben.
Ich hab zu diesem Thema selbst schon mal ein Arbeitsblatt erstellt, ich hängs dir in Anhang. Wenn man sich daran entlanghangelt, sollte man zu einer allgemeinen Regel kommen wie man den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen bestimmt.
Neh, dein Ansatz kann so nicht stimmen - zum einen mit den Bezeichungen etwas unklar, außerdem muss man schon etwas über die Funktionen wissen, wie sie verlaufen (z.B. dass sie in dem gegebenen Intervall keine Schnittstellen haben, wichtig!!) und welche "über" der anderen verläuft, bzw kann man auch mit Beträgen arbeiten.
Schau die am besten mal die verschiedenen Fälle auf dem Arbeitsblatt an.
Ich helf dir mal bei Bild 1:
[mm] A_1 [/mm] = [mm] \int_0^4 [/mm] f(x) dx
Das ist der Flächeninhalt der von der grünen Kurve bis zur x-Achse geht.
[mm] A_2 [/mm] = [mm] \int_0^4 [/mm] g(x) dx
Dieser Flächeninhalt geht von der blauen Kurve bis zur x-Achse.
Um den nun den Flächeninhalt zwischen beiden Kurven zu bekommen, müssen wir [mm] A_1 [/mm] - [mm] A_2 [/mm] berechnen (nicht addieren!), ist dir das klar?
Das kann man dann allgemein so aufschreiben:
[mm] \int_a^b [/mm] f(x) dx - [mm] \int_a^b [/mm] g(x) dx (in unserem Bsp war [a,b] = [0,4])
= [F(x) [mm] |_a^b [/mm] - [mm] [G(x)|_a^b [/mm] (F sei eine Stammfkt. von f, G von g)
= F(b) - F(a) - (G(b) - G(a))
= F(b) - F(a) - G(b) + G(a) (Klammer auflösen)
= F(b) - G(b) - F(a) + G(a) (umsortieren)
= F(b) - G(b) - (F(a) - G(a))
= [mm] \int_a^b [/mm] (f(x) - g(x)) dx
ok - interessantes Ergebnis, oder? ;)
Du kannst das ganze natürlich auch mal noch mit den gegeben Funktionen durchrechnen und dann schauen was schneller geht. Erst die beiden Integrale einzeln berechnen und voneinander abziehen, oder gleich unser allgemeines Ergebnis anwenden...
Bei Bild 2 und Bild 3 kannst du es dir mal überlegen - und immer nur verwenden, wie man den Flächeninhalt unter einer Kurve in einem bestimmten Intervall berechnet. Schau mal was du dann für allgemeine Ergebnisse bekommst.
Damit sollte auch die Frage mit der Verschiebung der x-Achse beantwortet sein - denn genau das überlegt man sich ja in Bsp 2 und 3, was passiert wenn eine Kurve unter der x-Achse liegt oder gar beide.
Auf der Rückseite Bild 4 (Fischfigur) ist dann noch ein Bsp., wenn sich die Kurven in dem Intervall schneiden - da muss man nochmal extra aufpassen.
Wenn du noch fragen hast, meld dich! ;)
Viele Grüße,
Riley
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: doc) [nicht öffentlich]
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