Flächeninhalt berechnen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:57 Mi 18.04.2007 | | Autor: | Xnyzer |
| Aufgabe | | Berechnen Sie den Grenzwert des Flächeninhalts aller (unendlicher) Quadrate. |
Wir sollen den Flächeninhalt mehrerer Quadrate berechnen. In einem großen Quadrat 1*1 ist ein weiteres mit [mm] \bruch{1}{3}*\bruch{1}{3}. [/mm] Um dieses [mm] \bruch{1}{3} [/mm] Quadrat sind 8 weitere [mm] \bruch{1}{9}*\bruch{1}{9} [/mm] Quadrate und um diese jeweils wiederum 8 [mm] \bruch{1}{27}*\bruch{1}{27} [/mm] Quadrate. Usw.
Ich habe das Ganze mal als Summe aufgeschrieben:
[mm] \summe_{i=0}^{n} (8^{n}*(\bruch{1}{3^{n+1}})^{2})+1^{2}
[/mm]
Und als Folge [mm] (a_{n}):
[/mm]
[mm] a_{n}=1^{2} [/mm] + [mm] 8^{n}*(\bruch{1}{3^{n+1}})^{2} [/mm] + [mm] 8^{n+1}*(\bruch{1}{3^{n+2}})^{2} [/mm] + [mm] 8^{n+2}*(\bruch{1}{3^{n+3}})^{2} [/mm] + ... + [mm] 8^{n-1}*(\bruch{1}{3^{n}})^{2}^{2}
[/mm]
Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich die Folge [mm] (a_{n}) [/mm] ganz richtig aufgeschrieben habe. Unsicher bin ich mir mit dem letzten Glied.
Dies ist ja eine geometrische Folge, richtig?
Wie kann ich jetzt den Grenzwert dazu berechnen? Ich habe das schon versucht, aber irgendwie komme ich nicht klar.
Versucht habe ich es mit dem Logerithmus das n aus dem Exponenten zu bekommen, aber was mir das eigneltich bringen soll, weiß ich auch nicht so recht. :S
Wäre echt klasse, wenn mir jemand helfen könnte!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:45 Mi 18.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Xnyzer!
Hast Du denn vielleicht mal eine Zeichnugn mit diesen vielen Quadraten?
Jedenfalls würde ich Deine Summe wie folgt umschreiben, um dann jedenfalls eine "eindeutige" geometrische Reihe zu erhalten:
[mm] $\summe_{i=0}^{n}8^i*\left(\bruch{1}{3^{i+1}}\right)^2+1^2 [/mm] \ = \ [mm] 1+\summe_{i=0}^{n}8^i*\left(\bruch{1}{3}*\bruch{1}{3^i}\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] 1+\summe_{i=0}^{n}8^i*\left(\bruch{1}{3}\right)^2*\left(\bruch{1}{3^i}\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] 1+\summe_{i=0}^{n}8^i*\bruch{1}{9}*\left(\bruch{1}{3^2}\right)^i [/mm] \ = \ [mm] 1+\bruch{1}{9}*\summe_{i=0}^{n}8^i*\left(\bruch{1}{9}\right)^i\ [/mm] = \ [mm] 1+\bruch{1}{9}*\summe_{i=0}^{n}\left(\bruch{8}{9}\right)^i$
[/mm]
Gruß
Loddar
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