Folge invertierbarer Matrizen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] A_n [/mm] sei eine Folge invertierbarer [mm] s\times{s} [/mm] Matrizen. [mm] \parallel A_n-A\parallel \to{0} [/mm] und [mm] A^{-1} [/mm] existiere. Dann gilt [mm] \parallel A_n^{-1}-A^{-1}\parallel \to{0} [/mm] |
Ich bin etwas unsicher wie ich das Beispiel angehen soll. Hat es etwas mit der Neumann-Reihe zu tun oder kann ich versuchen die Dreiecksungleichung anzuwenden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:50 Mo 21.11.2011 | | Autor: | Omikron123 |
Jemand eine Idee?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:11 Mo 21.11.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]A_n[/mm] sei eine Folge invertierbarer [mm]s\times{s}[/mm] Matrizen.
> [mm]\parallel A_n-A\parallel \to{0}[/mm] und [mm]A^{-1}[/mm] existiere. Dann
> gilt [mm]\parallel A_n^{-1}-A^{-1}\parallel \to{0}[/mm]
> Ich bin
> etwas unsicher wie ich das Beispiel angehen soll. Hat es
> etwas mit der Neumann-Reihe zu tun oder kann ich versuchen
> die Dreiecksungleichung anzuwenden?
Tipp: [mm] A_n^{-1}-A^{-1} = A_n^{-1} ( A-A_n )A^{-1} [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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Danke für den Hinweis. Wie genau kann ich diesen Hinweis darauf anwenden um von [mm] \parallel A_n-A\parallel [/mm] nach [mm] \parallel A_n^{-1}-A^{-1}\parallel [/mm] zu kommen?
[mm] \parallel A_n-A\parallel=\parallel A_n^{-1}A_nA_n-A^{-1}AA\parallel=?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 Mo 21.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Danke für den Hinweis. Wie genau kann ich diesen Hinweis
> darauf anwenden um von [mm]\parallel A_n-A\parallel[/mm] nach
> [mm]\parallel A_n^{-1}-A^{-1}\parallel[/mm] zu kommen?
Du kommst nicht auf [mm]\parallel A_n^{-1}-A^{-1}\parallel[/mm], sondern auf [mm]C \cdot \parallel A_n^{-1}-A^{-1}\parallel[/mm] mit einer Konstanten $C$.
Dafuer musst du nutzen, dass die Norm submultiplikativ ist, d.h. es gilt [mm] $\|A \cdot B\| \le \|A\| \cdot \|B\|$.
[/mm]
LG Felix
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Ich habe noch einmal versucht, scheitere aber immer mit den Umformungen. Wenn ich bis C [mm] \cdot \parallel A_n^{-1}-A^{-1}\parallel [/mm] kommen würde, dann wäre es natürlich kein Problem mehr.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:39 Mo 21.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich habe noch einmal versucht, scheitere aber immer mit den
> Umformungen. Wenn ich bis C [mm]\cdot \parallel A_n^{-1}-A^{-1}\parallel[/mm]
> kommen würde, dann wäre es natürlich kein Problem mehr.
Wende doch mal die Submultiplikativitaet der Matrizennorm auf [mm] $\| A_n^{-1} \cdot [/mm] (A - [mm] A_n) \cdot A^{-1} \|$ [/mm] an.
LG Felix
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