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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:44 Di 31.10.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | | Berechne [mm] $\summe_{i=2}^{n}\br{1}{k(k-1)}$ [/mm] |
Mojn...
Wie berechnet man solche Sachen, die theoretisch bis unendlich gehen? Mit einem guten Auge?
Wenn ich jetzt erst einmal herumprobiere
[mm] $\summe_{i=2}^{2}\br{1}{k(k-1)}=\br{1}{2(2-1)}=\br{1}{2}$
[/mm]
[mm] $\summe_{i=2}^{3}\br{1}{k(k-1)}=\br{1}{2(2-1)}+\br{1}{3(3-1)}=\br{1}{2}+\br{1}{6}=\br{4}{6}$
[/mm]
[mm] $\summe_{i=2}^{4}\br{1}{k(k-1)}=\br{1}{2(2-1)}+\br{1}{3(3-1)}+\br{1}{4(4-1)}=\br{1}{2}+\br{1}{6}+\br{1}{12}=\br{9}{12}$
[/mm]
Das hilft mir aber nicht, obwohl ich weiß, dass [mm] 1-\br{1}{n} [/mm] herauskommt.
[mm] $\summe_{i=2}^{n}\br{1}{k(k-1)}=\br{1}{2(2-1)}+\br{1}{3(3-1)}+\br{1}{4(4-1)}+...+\br{1}{n(n-1)}=\br{1}{2}+\br{1}{6}+\br{1}{12}+...+\br{1}{n^2-n}$
[/mm]
Das macht mein Leben aber auch nicht angenehmer. Wie berechne ich das nun???
Danke schon einmal!
Grüße
Phoney
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:27 Di 31.10.2006 | | Autor: | ullim |
Hi Phoney,
mit Induktion kannst Du es leicht beweisen, da Du ja weisst was raus kommen soll.
mfg ullim
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 Mi 01.11.2006 | | Autor: | ullim |
Hi Phoney,
[mm] \summe_{i=2}^{n}\br{1}{k(k-1)}=\summe_{i=2}^{n}(\br{1}{k-1}-\br{1}{k})=1+\summe_{i=2}^{n-1}\br{1}{k}-\summe_{i=2}^{n}\br{1}{k}
[/mm]
[mm] =1-\br{1}{n} [/mm] (die Summanden heben sich gegenseitig auf) und das konvergiert gegen 1.
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:42 Mi 01.11.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo ullim.
Deine erste Antwort war toll, dankeschön. Nur laut Aufgabe weiß ich das Ergebnis ja nicht, ich habe einfach meinen TR gefragt :)
Der Tipp wird mir aber für das Prinzip zum Beweisen sehr nützlich sein. Alleine schon dafür möchte ich mich bedanken.
Aber 100% super fand ich deine letztere Antwort. Einfach klasse. Vielen Dank! Und das nicht nur als Floskel. Ist wirklich so gemeint.
Mit den besten Grüßen
Johann
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 So 05.11.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
Heute fällt mir doch noch eine Frage auf.
Wie kommt man auf [mm] $\summe_{k=2}^{n}\br{1}{k-1} [/mm] = [mm] \summe_{k=2}^{n-1}\br{1}{k}$
[/mm]
????
Ich meine, wenn ich es mir angucke, ist es vollkommen logisch, also ich erhalte ja [mm] $\br{1}{1}+\br{1}{2}+\br{1}{3}+...\br{1}{n-1}$ [/mm] Und jetzt ist einfach die Überlegung, dass ich das [mm] \br{1}{1} [/mm] vor die Summe ziehe und für n-1 wieder da k einsetze, sodass sich ergibt [mm] $\summe_{k=2}^{n-1}\br{1}{k}$
[/mm]
Oder ist das nicht die Überlegung???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:36 So 05.11.2006 | | Autor: | ullim |
Hi,
so wie Du gefragt hast, ist es auch nicht,
es gilt
[mm] \summe_{i=2}^{n}\br{1}{k-1}=1+\summe_{i=2}^{n-1}\br{1}{k}
[/mm]
die Umformung habe ich gemacht um [mm] \summe_{i=2}^{n-1}\br{1}{k} [/mm] gegen [mm] \summe_{i=2}^{n}\br{1}{k} [/mm] bis auf [mm] \br{1}{n} [/mm] zu kompensieren.
mfg ullim
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