Folgen auf Konvergenz prüfen . < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 Mi 14.11.2007 | | Autor: | U-Gen |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.
[mm] a_n [/mm] = [mm] 2^{n} [/mm] * [mm] n^{-2}
[/mm]
[mm] b_n [/mm] = n [mm] \left( \wurzel{1 + \bruch{1}{n}} - \wurzel{1 - \bruch{1}{n}}\right)
[/mm]
[mm] c_n [/mm] = [mm] \left( 1 + \bruch{1}{n}\right)^{n²}
[/mm]
[mm] d_n [/mm] = [mm] \sqrt[n]{n(n + 1) ... (n + k)} [/mm] , k [mm] \in \IN [/mm] fest |
Die [mm] a_n [/mm] Folge hab ich mit dem Minorantenkriterium bewiesen. Hab mir [mm] \bruch{n³}{n²} [/mm] als divergente Minorante gewählt und mit Induktion gezeigt, dass [mm] \bruch{2^{n}}{n²} \ge \bruch{n³}{n²} [/mm] ist.
Die [mm] b_n [/mm] Folge einfach erweitert mit [mm] \left( \bruch{\wurzel{1 + \bruch{1}{n}} + \wurzel{1 - \bruch{1}{n}}}{\wurzel{1 + \bruch{1}{n}} + \wurzel{1 - \bruch{1}{n}}}\right) [/mm] und ausgerechnet, dass die Folge gegen 1 konvergiert.
Folge [mm] c_n [/mm] aufgeteilt, weil [mm] \left(1 + \bruch{1}{n}\right)^{n} [/mm] = e ist. Somit konvergiert die Folge gegen e².
Komme jetzt nur nicht bei der Folge [mm] d_n [/mm] klar. Würde mich freuen wenn mir jemand dabei helfen könnte !
Vielen Dank
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Denn es gilt gemäß 
Potenzgesetz