Folgen mit e als Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Grenzwerte:
1. [mm] a_n= (1+\bruch{1}{n+1})^n
[/mm]
2. [mm] b_n=(1-\bruch{1}{n})^n
[/mm]
3. [mm] c_n=(1+\bruch{2}{n})^n [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe mal wieder ein kleines Problem mit der Grenzwertbestimmung. Wir sollen die Grenzwerte der obigen Folgen bestimmen. Wir haben in der Vorlesung/Übung bereits die Grenzwerte von folgenden Folgen bestimmt:
[mm] a_n=(1+\bruch{1}{n})^n [/mm] (--> e)
[mm] b_n=(1+\bruch{1}{n+1})^{n+1} [/mm] (--> e)
[mm] c_n= (1+\bruch{1}{n})^{2n} [/mm] (--> 2e)
[mm] d_n [/mm] = [mm] (1+\bruch{1}{n})^{n+1} [/mm] (-->e)
[mm] e_n [/mm] = [mm] (1-\bruch{1}{n+1})^n [/mm] (--> e^-1)
Die erste haben wir in der Vorlesung bewiesen, die anderen jeweils aus der ersten gefolgert. Das konnte ich auch nachvollziehen.
Ich denke, wir sollen es jetzt bei der Aufgabe oben ähnlich machen, aber irgendwie komme ich da nicht weiter. Ich schreibe euch einfach mal auf, was ich mir so überlegt habe:
zu 1.) [mm] a_n= (1+\bruch{1}{n+1})^n
[/mm]
Ich habe mir gedacht, dass das ja
[mm] (1+\bruch{1}{n+1})^{n+1} [/mm] : [mm] (1+\bruch{1}{n+1}) [/mm] ist und somit für den Grenzwert gilt: [mm] \bruch{e}{1} [/mm] und die Folge somit auch gegen e konvergiert.
Stimmt das so?
zu [mm] 2.:b_n=(1-\bruch{1}{n})^n
[/mm]
Hier habe ich keine richtige Idee, außer, dass die Folge gegen e^-1 konvergieren müsste. Das habe ich mir anhand von Zahlen überlegt. Aber wie ich das beweisen kann?
zu 3. [mm] c_n=(1+\bruch{2}{n})^n
[/mm]
Hier habe ich auch keinen wirklichen Ansatz. Wir dürfen folgende Abschätzung benutzen, wenn wir sie bewiesen haben:
[mm] (1+\bruch{1}{n+1})^2 \le 1+\bruch{2}{n} \le (1+\bruch{1}{n})^2
[/mm]
Die Abschätzung habe ich auch so einigermaßen bewiesen. Trotzdem komme ich da nicht so recht weiter, da ich ja bei der Abschätzung bei den beiden neuen Folgen ^2 habe und ich nur den Grenzwert für ^n oder ^2n weiß...
Klar ist, dass, wenn ich die Abschätzung bewiesen habe, dann alle 3 den selben Grenzwert haben. Ich denke, der müsste 2e sein. Aber ich weiß nicht wirklich, wie ich das formal zeigen kann...
Ich hoffe, ich habe nicht zu wirr geschrieben und es kann mir jemand helfen. Wenn etwas unverständlich ist, bitte einfach nachfragen...
Liebe Grüße,
Katrin
|
|
| |
|
> Bestimmen Sie die Grenzwerte:
>
> 1. [mm]a_n= (1+\bruch{1}{n+1})^n[/mm]
>
> 2. [mm]b_n=(1-\bruch{1}{n})^n[/mm]
>
> 3. [mm]c_n=(1+\bruch{2}{n})^n[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> zu 1.) [mm]a_n= (1+\bruch{1}{n+1})^n[/mm]
>
> Ich habe mir gedacht, dass das ja
>
>
> [mm](1+\bruch{1}{n+1})^{n+1}[/mm] : [mm](1+\bruch{1}{n+1})[/mm] ist und
> somit für den Grenzwert gilt: [mm]\bruch{e}{1}[/mm] und die Folge
> somit auch gegen e konvergiert.
> Stimmt das so?
Hallo,
ja, das stimmt.
>
> zu [mm]2.:b_n=(1-\bruch{1}{n})^n[/mm]
>
> Hier habe ich keine richtige Idee, außer, dass die Folge
> gegen e^-1 konvergieren müsste. Das habe ich mir anhand von
> Zahlen überlegt. Aber wie ich das beweisen kann?
[mm] b_n=(\bruch{n-1}{n})^n=(\bruch{1}{\bruch{n}{n-1}})^n=\bruch{1}{(\bruch{n}{n-1})^n}
[/mm]
>
> zu 3. [mm]c_n=(1+\bruch{2}{n})^n[/mm]
>
> Hier habe ich auch keinen wirklichen Ansatz. Wir dürfen
> folgende Abschätzung benutzen, wenn wir sie bewiesen
> haben:
>
> [mm](1+\bruch{1}{n+1})^2 \le 1+\bruch{2}{n} \le (1+\bruch{1}{n})^2[/mm]
>
> Die Abschätzung habe ich auch so einigermaßen bewiesen.
> Trotzdem komme ich da nicht so recht weiter, da ich ja bei
> der Abschätzung bei den beiden neuen Folgen ^2 habe und ich
> nur den Grenzwert für ^n oder ^2n weiß...
> Klar ist, dass, wenn ich die Abschätzung bewiesen habe,
> dann alle 3 den selben Grenzwert haben. Ich denke, der
> müsste 2e sein. Aber ich weiß nicht wirklich, wie ich das
> formal zeigen kann...
Die Abschätzung ist nützlich, beim Grenzwert täuschst Du Dich.
Guck mal:
[mm] (1+\bruch{1}{n+1})^2 \le 1+\bruch{2}{n} \le (1+\bruch{1}{n})^2
[/mm]
==>
[mm] (1+\bruch{1}{n+1})^{2n} \le (1+\bruch{2}{n})^n \le (1+\bruch{1}{n})^{2n}
[/mm]
==>
[mm] ((1+\bruch{1}{n+1})^n)^2 \le (1+\bruch{2}{n})^n \le ((1+\bruch{1}{n})^n)^2
[/mm]
Gruß v. Angela
>
>
> Ich hoffe, ich habe nicht zu wirr geschrieben und es kann
> mir jemand helfen. Wenn etwas unverständlich ist, bitte
> einfach nachfragen...
>
> Liebe Grüße,
> Katrin
>
>
|
|
|
| |
|
Vielen Dank für deine schnelle Hilfe, ich bin leider gerade erst nach Hause gekommen und konnte es mir gerade erst angucken.
Zu Folge 1 und 3 habe ich keine Frage mehr, bei Folge 3 hatte ich mich auch nur verschrieben, ich meinte [mm] e^2 [/mm] als Grenzwert.
Deine Umformung für Folge 2 konnte ich auch nachvollziehen, aber leider habe ich noch nicht verstanden, wie ich daraus jetzt den Grenzwert schlussfolgern kann, da ich den Grenzwert für [mm] (\bruch{n}{n-1})^n [/mm] nicht kenne...Muss ich das noch weiter umformen?
Vielleicht kannst du mir da noch einmal kurz weiterhelfen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:14 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Zottelchen!
[mm] $$\left(\bruch{n}{n-1}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{n-1+1}{n-1}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{n-1}{n-1}+\bruch{1}{n-1}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \left(1+\bruch{1}{n-1}\right)^n [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:02 Di 11.11.2008 | | Autor: | Zottelchen |
Super, dankeschön, das hat mir geholfen 
Ich habe jetzt k=n-1 definiert und so gezeigt, dass der Grenzwert [mm] \bruch{1}{e} [/mm] ist. Ich hoffe, das ist richtig so.....
|
|
|
|
