Folgerung Jensen Ungleichung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | f: [0,1] [mm] \to \IR
[/mm]
[mm] \phi: \IR \to \IR+ [/mm] konvexe Funktion
Zeige: [mm] \phi(\integral_{0}^{1}{f(x) dx}) \le \integral_{0}^{1}{\phi(f(x) dx} [/mm] |
Hallo zusammen.
Es gilt:
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{n}f( \bruch{k}{n}) \to \integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] für n [mm] \to \infty
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{n}\phi(f( \bruch{k}{n})) \to \integral_{0}^{1}{\phi(f(x)) dx}) [/mm] für n [mm] \to \infty
[/mm]
Da [mm] \phi [/mm] konxex ist folgt mit der Konstruktion der Summe und der Jensen Ungleichung
[mm] \phi(\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{n}f( \bruch{k}{n})) \le \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{n}\phi(f( \bruch{k}{n}))
[/mm]
Problem: Mich interessiert ja der Grenzwert links und rechts der Ungleichung. Aber einfach auf beiden Seiten den [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] drauf packen geht doch nicht so einfach oder?
Gruß kulli
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:17 Sa 26.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> f: [0,1] [mm]\to \IR[/mm]
> [mm]\phi: \IR \to \IR+[/mm] konvexe Funktion
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> Zeige: [mm]\phi(\integral_{0}^{1}{f(x) dx}) \le \integral_{0}^{1}{\phi(f(x) dx}[/mm]
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> Hallo zusammen.
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> Es gilt:
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> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{n}f( \bruch{k}{n}) \to \integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm]
> für n [mm]\to \infty[/mm]
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> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{n}\phi(f( \bruch{k}{n})) \to \integral_{0}^{1}{\phi(f(x)) dx})[/mm]
> für n [mm]\to \infty[/mm]
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> Da [mm]\phi[/mm] konxex ist folgt mit der Konstruktion der Summe und
> der Jensen Ungleichung
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> [mm]\phi(\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{n}f( \bruch{k}{n})) \le \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{n}\phi(f( \bruch{k}{n}))[/mm]
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> Problem: Mich interessiert ja der Grenzwert links und
> rechts der Ungleichung. Aber einfach auf beiden Seiten den
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] drauf packen geht doch nicht so
> einfach oder?
Ohne weitere Voraussetzungen an f und [mm] \phi [/mm] geht das nicht so einfach. Hast Du weitere Voraussetzungen an f und (oder) [mm] \phi [/mm] verschwiegen ?
f sollte mindestens Riemannintegrierbar sein, ebenso [mm] \phi \circ [/mm] f. Ist [mm] \phi [/mm] als stetig vorausgesetzt ?
FRED
>
> Gruß kulli
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> > f: [0,1] [mm]\to \IR[/mm]
> > [mm]\phi: \IR \to \IR+[/mm] konvexe Funktion
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> > Zeige: [mm]\phi(\integral_{0}^{1}{f(x) dx}) \le \integral_{0}^{1}{\phi(f(x) dx}[/mm]
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> > Hallo zusammen.
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> > Es gilt:
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> > [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{n}f( \bruch{k}{n}) \to \integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm]
> > für n [mm]\to \infty[/mm]
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> > [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{n}\phi(f( \bruch{k}{n})) \to \integral_{0}^{1}{\phi(f(x)) dx})[/mm]
> > für n [mm]\to \infty[/mm]
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> > Da [mm]\phi[/mm] konxex ist folgt mit der Konstruktion der Summe und
> > der Jensen Ungleichung
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> > [mm]\phi(\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{n}f( \bruch{k}{n})) \le \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{n}\phi(f( \bruch{k}{n}))[/mm]
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> > Problem: Mich interessiert ja der Grenzwert links und
> > rechts der Ungleichung. Aber einfach auf beiden Seiten den
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] drauf packen geht doch nicht so
> > einfach oder?
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> Ohne weitere Voraussetzungen an f und [mm]\phi[/mm] geht das nicht
> so einfach. Hast Du weitere Voraussetzungen an f und (oder)
> [mm]\phi[/mm] verschwiegen ?
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> f sollte mindestens Riemannintegrierbar sein, ebenso [mm]\phi \circ[/mm]
> f. Ist [mm]\phi[/mm] als stetig vorausgesetzt ?
>
> FRED
> >
> > Gruß kulli
>
Hi, ja hätte ich erwähnen sollen:
f und [mm] \phi [/mm] sind R- integrierbar und beide stetig! Das die Summen oben gegen die entsprechenden Integrale konvergieren ist eine Folgerung daraus.
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> > f: [0,1] [mm]\to \IR[/mm]
> > [mm]\phi: \IR \to \IR+[/mm] konvexe Funktion
> >
> > Zeige: [mm]\phi(\integral_{0}^{1}{f(x) dx}) \le \integral_{0}^{1}{\phi(f(x) dx}[/mm]
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> > Hallo zusammen.
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> > Es gilt:
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> > [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{n}f( \bruch{k}{n}) \to \integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm]
> > für n [mm]\to \infty[/mm]
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> > [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{n}\phi(f( \bruch{k}{n})) \to \integral_{0}^{1}{\phi(f(x)) dx})[/mm]
> > für n [mm]\to \infty[/mm]
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> > Da [mm]\phi[/mm] konxex ist folgt mit der Konstruktion der Summe und
> > der Jensen Ungleichung
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> > [mm]\phi(\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{n}f( \bruch{k}{n})) \le \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{n}\phi(f( \bruch{k}{n}))[/mm]
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> >
> > Problem: Mich interessiert ja der Grenzwert links und
> > rechts der Ungleichung. Aber einfach auf beiden Seiten den
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] drauf packen geht doch nicht so
> > einfach oder?
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> Ohne weitere Voraussetzungen an f und [mm]\phi[/mm] geht das nicht
> so einfach. Hast Du weitere Voraussetzungen an f und (oder)
> [mm]\phi[/mm] verschwiegen ?
>
> f sollte mindestens Riemannintegrierbar sein, ebenso [mm]\phi \circ[/mm]
> f. Ist [mm]\phi[/mm] als stetig vorausgesetzt ?
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> FRED
> >
> > Gruß kulli
>
>>
Moin, so habe die Frage nochmal überarbeitet.
Habe jetzt eine Idee wie es funktionieren könnte. Wäre cool wenn das jemand bestätigen, oder zumindest irgend einen kritischen Senf, Bedenken oder sonst was abgeben könnte!
Vorausgesetzt: f, [mm] \phi [/mm] und [mm] \phi\circ [/mm] f sind Riemann- integrierbar. Das bedeutet ich kann mir eine spezielle Zerlegungsfolge [mm] Z_j [/mm] von [0,1] mit speziellem Zwischenvektor [mm] \xi_j [/mm] wählen. Ich wähle (Achtung Harro Heuser Notation):
[mm] Z_j [/mm] := [mm] x_0^{(j)}, x_1^{(j)}, [/mm] ..., [mm] x_{nj}^{(j)} [/mm] mit [mm] |x_k^{(j)}-x_{k-1}^{(j)}| [/mm] = [mm] \bruch{1}{nj} \to [/mm] 0 für j [mm] \to \infty
[/mm]
[mm] \xi_j [/mm] := [mm] (\xi_1^{(j)}, \xi_2^{(j)}, [/mm] ..., [mm] \xi_{nj}^{(j)}) [/mm] mit [mm] \xi_k^{(j)} \in I_k^{j} [/mm] := [mm] [x_{k-1}^{(j)}, x_k^{(j)}]
[/mm]
Das besondere an [mm] \xi_k^{(j)}: [/mm] Es soll gelten Inf( [mm] \phi|_{f(I_k^{j})}) [/mm] = [mm] \phi(f(\xi_k^{(j)})) [/mm] (Infimum von [mm] \phi [/mm] eingeschränkt auf das Bild [mm] f(I_k^{j})) [/mm]
Dann gilt:
[mm] \phi(\summe_{k=1}^{nj}\bruch{1}{nj}f(\xi_k^{(j)}))\le \summe_{k=1}^{nj}\bruch{1}{nj}\phi(f(\xi_k^{(j)})) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{nj}\bruch{1}{nj} [/mm] Inf( [mm] \phi|_{f(I_k^{j})})
[/mm]
Das erste [mm] "\le" [/mm] Zeichen gilt wegen der Jensen Ungleichung.
Nach Konstruktion habe ich jetzt auf der rechten Seite eine monoton wachsende Folge (nämlich die Folge der Untersummen von [mm] \phi, [/mm] die [mm] \integral_{0}^{1}{\phi(f(x)) dx} [/mm] auf [0,1] approximieren). Also kann ich (?) auf der rechten Seite j [mm] \to \infty [/mm] laufen lassen und erhalte [mm] \summe_{k=1}^{nj}\bruch{1}{nj} [/mm] Inf( [mm] \phi|_{f(I_k^{j})}) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{\phi(f(x) dx}.
[/mm]
Kurz:
[mm] \phi(\summe_{k=1}^{nj}\bruch{1}{nj}f(\xi_k^{(j)}))\le \integral_{0}^{1}{\phi(f(x) dx}
[/mm]
Kann ich jetzt auch auf der linken Seite j [mm] \to \infty [/mm] laufen lassen? Denn ich habe ja auf der rechten Seite eine feste Zahl als Schranke.
Gruß kulli
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Di 29.04.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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