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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:17 Di 03.05.2011 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | Bestimmen sie die reele Fourier Reihe der Funktion f(x) = [mm] x(\pi [/mm] - |x|) , |x| [mm] \le \pi.
[/mm]
In der Form [mm] \bruch{a0}{2}+ \summe_{j=1}^{\infty} [/mm] ( aj cos(jx) + bj sin(jx)). |
Nun hab ich mir erstmal die Funktion betrachtet und würde sagen sie ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Damit ist aj = 0.
Die Integrationsgrenzen müssten [mm] -\pi [/mm] bis [mm] \pi [/mm] sein.
Nun habe ich folgendes Problem: Wie gehe ich mit dem Betrag |x| um.
Muss ich nun wenn ich a0 und bj berechne jeweils eine Fallunterscheidung machen.
Woran erkenne ich hier ob die Fkt [mm] 2\pi [/mm] periodisch ist oder sonstiges.
Vielen Dank für die Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:24 Mi 04.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen sie die reele Fourier Reihe der Funktion f(x) =
> [mm]x(\pi[/mm] - |x|) , |x| [mm]\le \pi.[/mm]
>
>
> In der Form [mm]\bruch{a0}{2}+ \summe_{j=1}^{\infty}[/mm] ( aj
> cos(jx) + bj sin(jx)).
> Nun hab ich mir erstmal die Funktion betrachtet und würde
> sagen sie ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Stimmt
>
> Damit ist aj = 0.
Ja
>
> Die Integrationsgrenzen müssten [mm]-\pi[/mm] bis [mm]\pi[/mm] sein.
Ja
>
> Nun habe ich folgendes Problem: Wie gehe ich mit dem Betrag
> |x| um.
>
> Muss ich nun wenn ich a0 und bj berechne jeweils eine
> Fallunterscheidung machen.
Nein. Da f ungerade ist, gilt
[mm] $b_j= \bruch{2}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{f(x)*sin(jx) dx}$
[/mm]
und für x [mm] \ge [/mm] 0 ist
$f(x) = [mm] x(\pi [/mm] - x)$
FRED
>
> Woran erkenne ich hier ob die Fkt [mm]2\pi[/mm] periodisch ist oder
> sonstiges.
>
> Vielen Dank für die Hilfe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:16 Mi 04.05.2011 | | Autor: | zocca21 |
Ich habe bj nun zum Berechnen in die beiden Summanden aufgeteilt:
[mm] \bruch{2}{\pi} \integral _{0}^{\pi}{ x\pi * sin(jx) dx} [/mm] und [mm] \bruch{2}{\pi} \integral_{0}^{\pi}{ -x^2 * sin(jx) dx} [/mm] aufgeteilt:
Nun zunächst zu [mm] \bruch{2}{\pi} \integral _{0}^{\pi}{ x\pi * sin(jx) dx} [/mm] :
Bei der partiellen Integration habe ich erhalten:
[mm] -x\pi [/mm] * cos(jx) * [mm] \bruch{1}{j} [/mm] + [mm] \pi [/mm] * sin(jx) * [mm] \bruch{1}{j^2}
[/mm]
nach Einsetzen:
[mm] bj_1 [/mm] = - [mm] \bruch{2\pi}{j} [/mm] * [mm] (-1)^j
[/mm]
Bei:
[mm] \bruch{2}{\pi} \integral_{0}^{\pi} [/mm] { [mm] -x^2 [/mm] * sin(jx) dx}
habe ich als partielle Integration:
[mm] x^2 [/mm] * cos(jx) * [mm] \bruch{1}{j} [/mm] - 2x sin(jx) * [mm] \bruch{1}{j^2} [/mm] - 2cos(jx) * [mm] \bruch{1}{j^3}
[/mm]
Nach einsetzen der Integrationsgrenzen erhalte ich:
[mm] bj_2 [/mm] = [mm] \bruch{2\pi}{j} [/mm] * [mm] (-1)^j [/mm] - [mm] \bruch{2}{\pi j^2}*(-1)^j [/mm] + [mm] \bruch{2}{j^3\pi}
[/mm]
Nach Addition von [mm] bj_1 [/mm] und [mm] bj_2 [/mm] erhalte ich - [mm] \bruch{2}{\pi j^2}*(-1)^j [/mm] + [mm] \bruch{2}{j^3\pi}
[/mm]
Dabei ist aber wohl ein Fehler drin, den ich nicht finde..
Vielen Dank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:05 Do 05.05.2011 | | Autor: | zocca21 |
Ich versuche mal meinen Rechenweg noch genauer zu erläutern:
[mm] bj_1 [/mm] nach partieller Integration:
[mm] bj_1 [/mm] = [mm] \bruch{2}{\pi} [/mm] [ [mm] -x\pi [/mm] cos(jx) * [mm] \bruch{1}{j} [/mm] + [mm] \pi [/mm] sin(jx) * [mm] \bruch{1}{j^2} [/mm] ] Grenzen von 0 bis [mm] \pi
[/mm]
= [mm] \bruch{2}{\pi} [/mm] ( - [mm] \pi^2 cos(\pi [/mm] j) [mm] \bruch{1}{j})
[/mm]
[mm] bj_2 [/mm] nach partieller Integration:
[mm] bj_2 [/mm] = [mm] \bruch{2}{\pi} [/mm] [ [mm] x^2 [/mm] * cos(jx) * [mm] \bruch{1}{j} [/mm] - 2x sin(jx) [mm] \bruch{1}{j^2} [/mm] - 2cos(jx) * [mm] \bruch{1}{j^3} [/mm] ] Grenzen von 0 bis [mm] \pi
[/mm]
= [mm] \bruch{2}{\pi} [/mm] ( [mm] \pi^2 cos(\pi j)*\bruch{1}{j} [/mm] - [mm] 2cos(\pi j)*\bruch{1}{j^2}+\bruch{2}{j^3}
[/mm]
Das waren meine Zwischenschritte. Wie gesagt ich dachte es wäre hier sinvoll die beiden Summanden zunächst einzeln zu behandeln.
Vielen Dank!
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Hallo zocca21,
> Ich versuche mal meinen Rechenweg noch genauer zu
> erläutern:
>
> [mm]bj_1[/mm] nach partieller Integration:
>
> [mm]bj_1[/mm] = [mm]\bruch{2}{\pi}[/mm] [ [mm]-x\pi[/mm] cos(jx) * [mm]\bruch{1}{j}[/mm] + [mm]\pi[/mm]
> sin(jx) * [mm]\bruch{1}{j^2}[/mm] ] Grenzen von 0 bis [mm]\pi[/mm]
>
> = [mm]\bruch{2}{\pi}[/mm] ( - [mm]\pi^2 cos(\pi[/mm] j) [mm]\bruch{1}{j})[/mm]
>
> [mm]bj_2[/mm] nach partieller Integration:
>
> [mm]bj_2[/mm] = [mm]\bruch{2}{\pi}[/mm] [ [mm]x^2[/mm] * cos(jx) * [mm]\bruch{1}{j}[/mm] - 2x
> sin(jx) [mm]\bruch{1}{j^2}[/mm] - 2cos(jx) * [mm]\bruch{1}{j^3}[/mm] ]
> Grenzen von 0 bis [mm]\pi[/mm]
>
> = [mm]\bruch{2}{\pi}[/mm] ( [mm]\pi^2 cos(\pi j)*\bruch{1}{j}[/mm] - [mm]2cos(\pi j)*\bruch{1}{j^2}+\bruch{2}{j^3}[/mm]
Hier ist ein "j" verlorengegangen:
[mm]\bruch{2}{\pi} ( \pi^2 cos(\pi j)*\bruch{1}{j} - \blue{\bruch{1}{j}}*2cos(\pi j)*\bruch{1}{j^2}+\bruch{2}{j^3})[/mm]
>
> Das waren meine Zwischenschritte. Wie gesagt ich dachte es
> wäre hier sinvoll die beiden Summanden zunächst einzeln
> zu behandeln.
>
> Vielen Dank!
Gruss
MathePower
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Hallo zocca21,
> Ich habe bj nun zum Berechnen in die beiden Summanden
> aufgeteilt:
>
> [mm]\bruch{2}{\pi} \integral _{0}^{\pi}{ x\pi * sin(jx) dx}[/mm] und
> [mm]\bruch{2}{\pi} \integral_{0}^{\pi}{ -x^2 * sin(jx) dx}[/mm]
> aufgeteilt:
>
> Nun zunächst zu [mm]\bruch{2}{\pi} \integral _{0}^{\pi}{ x\pi * sin(jx) dx}[/mm]
> :
>
> Bei der partiellen Integration habe ich erhalten:
>
> [mm]-x\pi[/mm] * cos(jx) * [mm]\bruch{1}{j}[/mm] + [mm]\pi[/mm] * sin(jx) *
> [mm]\bruch{1}{j^2}[/mm]
>
> nach Einsetzen:
>
> [mm]bj_1[/mm] = - [mm]\bruch{2\pi}{j}[/mm] * [mm](-1)^j[/mm]
>
> Bei:
> [mm]\bruch{2}{\pi} \integral_{0}^{\pi}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]-x^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
* sin(jx) dx}
>
> habe ich als partielle Integration:
>
> [mm]x^2[/mm] * cos(jx) * [mm]\bruch{1}{j}[/mm] - 2x sin(jx) * [mm]\bruch{1}{j^2}[/mm]
> - 2cos(jx) * [mm]\bruch{1}{j^3}[/mm]
>
> Nach einsetzen der Integrationsgrenzen erhalte ich:
>
> [mm]bj_2[/mm] = [mm]\bruch{2\pi}{j}[/mm] * [mm](-1)^j[/mm] - [mm]\bruch{2}{\pi j^2}*(-1)^j[/mm]
> + [mm]\bruch{2}{j^3\pi}[/mm]
Hier muss es doch heißen:
[mm]bj_2 = \bruch{2\pi}{j} * (-1)^j - \bruch{\red{4}}{\pi j^{\red{3}}}*(-1)^j +\bruch{\red{4}}{j^3\pi}[/mm]
>
> Nach Addition von [mm]bj_1[/mm] und [mm]bj_2[/mm] erhalte ich - [mm]\bruch{2}{\pi j^2}*(-1)^j[/mm]
> + [mm]\bruch{2}{j^3\pi}[/mm]
>
> Dabei ist aber wohl ein Fehler drin, den ich nicht finde..
>
> Vielen Dank
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:30 Do 05.05.2011 | | Autor: | zocca21 |
Super, Vielen vielen Dank. Hab nun das richtige Ergebnis und den Weg.
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