Frage zu einer Umformung, QK < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 Sa 12.01.2013 | | Autor: | Sauri |
| Aufgabe | Ich soll die Konvergenz der folgenden Reihe mit dem Quotientenkriterium prüfen.
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{n^n}{n!} [/mm] |
Hallo zusammen ich habe eine Frage zu einer Umformung die im Lösungsansatz zu o. g. Aufgabe gemacht wurde.
[mm] \left| \bruch{a_{n+1}}{a_n} \right| [/mm] = [mm] \left| \bruch{\bruch{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}}{\bruch{n^n}{n!}} \right| [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \bruch{n!}{n^n} [/mm] = (n+1) [mm] \cdot (\bruch{(n+1)}{n})^n \bruch{n!}{(n+1) \cdot n!} [/mm] = [mm] (\bruch{n+1}{n})^n [/mm] = (1 + [mm] \bruch{1}{n})^n \to [/mm] e > 1
Rechts vom dritten Gleichheitszeichen steht (n+1) [mm] \cdot [/mm] [...] . Was hat man dort gemacht, dass man dort so umschreiben kann?
Wie immer vielen Dank für eure Hilfe!
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Hallo Sauri,
> Ich soll die Konvergenz der folgenden Reihe mit dem
> Quotientenkriterium prüfen.
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{n^n}{n!}[/mm]
> Hallo zusammen ich
> habe eine Frage zu einer Umformung die im Lösungsansatz zu
> o. g. Aufgabe gemacht wurde.
>
> [mm]\left| \bruch{a_{n+1}}{a_n} \right|[/mm] = [mm]\left| \bruch{\bruch{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}}{\bruch{n^n}{n!}} \right|[/mm]
> = [mm]\bruch{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \bruch{n!}{n^n}[/mm] = (n+1) [mm]\cdot (\bruch{(n+1)}{n})^n \bruch{n!}{(n+1) \cdot n!}[/mm] =
> [mm](\bruch{n+1}{n})^n[/mm] = (1 + [mm]\bruch{1}{n})^n \to[/mm] e > 1 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Also divergiert die Reihe
>
> Rechts vom dritten Gleichheitszeichen steht (n+1) [mm]\cdot[/mm]
> [...] . Was hat man dort gemacht, dass man dort so
> umschreiben kann?
Man hat das [mm] $(n+1)^{n+1}$ [/mm] geschrieben als [mm] $(n+1)\cdot{}(n+1)^n$
[/mm]
Daher das $n+1$, das [mm] $(n+1)^n$ [/mm] wurde mit dem [mm] $n^n$ [/mm] im Nenner verarztet ...
>
> Wie immer vielen Dank für eure Hilfe!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:38 Sa 12.01.2013 | | Autor: | Sauri |
Hallo vielen vielen Dank!
[mm] \bruch{n!}{(n+1) \cdot n!} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{(n+1)!} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] ^^
Und zum Schluss kann man dann alles kürzen. Und es bleibt nur noch [mm] (\bruch{(n+1)}{n})^n [/mm] übrig....
nochmals danke!
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