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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 So 08.12.2013 | | Autor: | Teryosas |
| Aufgabe | Für welches a [mm] \in \IR [/mm] ist die Funktion
g: [mm] \IR \to \IR [/mm] mit [mm] x\mapsto \begin{cases}\bruch{x^{4}-1}{x-1}, & \mbox{falls} x>1 \\ 2^{x+a}, & \mbox{falls} x\le1 \end{cases}
[/mm]
an der Stelle x=1 stetig?
Ist die Funktion g stetig auf [mm] \IR? [/mm] Warum? |
Hey,
ich habe oben genannte Aufgabe und bin mir nicht sicher ob ich mit meinem Ergebnis richtig liege...
Also:
ich habe zuerst den rechten Teil der Funktion genommen wo gilt das x>1 ist. Dort habe ich x gegen eine geringfügig größere Zahl als 1 laufen lassen (1,00000000001). Das Ergebnis hier war 4
Dann habe ich den linken Teil x=1 eingesetzt und der 4 gleichgesetzt, und nach a aufgelöst, mit Hilfe des Logarithmuses
a = [mm] \bruch{log{4}}{log{2}}-1
[/mm]
a = 1
Das müsste ja jetzt eigentlich richtig sein oder? Weil mit x=a=1 bekomme ich auch auf dem linken Teil die 4 raus und somit ist die Funktion für a=1 stetig oder?
Und die Funktion dürfte ja auch auf [mm] \IR [/mm] stetig sein, da ich auf der rechten Seite jedes x des Intervalls einsetzen darf und im linken Teil darf ich für x ja so oder so jede Zahl aus [mm] \IR [/mm] einsetzen, wenn ich das richtig sehe oder?
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Hallo Teryosas,
das ist so eine Taschenrechnerlösung; das reicht meistens nicht - obwohl Du eigentlich alles richtig siehst.
> Für welches a [mm]\in \IR[/mm] ist die Funktion
>
> g: [mm]\IR \to \IR[/mm] mit [mm]x\mapsto \begin{cases}\bruch{x^{4}-1}{x-1}, & \mbox{falls} x>1 \\ 2^{x+a}, & \mbox{falls} x\le1 \end{cases}[/mm]
>
> an der Stelle x=1 stetig?
> Ist die Funktion g stetig auf [mm]\IR?[/mm] Warum?
>
> ich habe oben genannte Aufgabe und bin mir nicht sicher ob
> ich mit meinem Ergebnis richtig liege...
>
> Also:
>
> ich habe zuerst den rechten Teil der Funktion genommen wo
> gilt das x>1 ist. Dort habe ich x gegen eine geringfügig
> größere Zahl als 1 laufen lassen (1,00000000001). Das
> Ergebnis hier war 4
Das hier meine ich.
Da doch x>1 vorausgesetzt ist, ist der Nenner immer [mm] \not=0. [/mm] Also darfst Du Polynomdivision anwenden:
[mm] (x^4-1):(x-1)=x^3+x^2+x+1.
[/mm]
Wenn Du jetzt den Grenzwert für [mm] x\to\downarrow{1} [/mm] bildest, hast Du auch die 4, dafür aber "sauber".
> Dann habe ich den linken Teil x=1 eingesetzt und der 4
> gleichgesetzt, und nach a aufgelöst, mit Hilfe des
> Logarithmuses
>
> a = [mm]\bruch{log{4}}{log{2}}-1[/mm]
> a = 1
>
> Das müsste ja jetzt eigentlich richtig sein oder?
Das ist es.
> Weil mit
> x=a=1 bekomme ich auch auf dem linken Teil die 4 raus und
> somit ist die Funktion für a=1 stetig oder?
Ja, genau.
> Und die Funktion dürfte ja auch auf [mm]\IR[/mm] stetig sein, da
> ich auf der rechten Seite jedes x des Intervalls einsetzen
> darf und im linken Teil darf ich für x ja so oder so jede
> Zahl aus [mm]\IR[/mm] einsetzen, wenn ich das richtig sehe oder?
Stimmt auch. Jede Verknüpfung stetiger Funktionen ist selbst wieder stetig, sofern dabei keine undefinierten Ausdrücke auftreten.
Grüße
reverend
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> Stimmt auch. Jede Verknüpfung stetiger Funktionen ist
> selbst wieder stetig, sofern dabei keine undefinierten
> Ausdrücke auftreten.
Wobei es, wenn man die Funktionen mengentheoretisch "sauber" - das heißt wenn die Zielmenge der einen die Startmenge der anderen ist - verknüpft, zu undefinierten Ausdrücken gar nicht kommen kann.
Den Satz "Die Komposition stetiger Abbildungen ist stetig" kann also durchaus so formuliert werden darf.
Nur als Anmerkung.
Liebe Grüße,
UniverselllesObjekt
Edit: okay, hab gerade gesehen, dass es sich hier um schulmathe handelt. Dann ist das hier vielleicht etwas weit vorgeggriffen...
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