Funktion auf Cantormenge < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei $C = [0,1] [mm] \setminus [/mm] S$ das Cantorsche Diskontinuum, wobei $S = [mm] S_1 \cup S_2 \cup [/mm] ...$ ist und die Menge
[mm] $S_n [/mm] = [mm] \bigcup_{0 \leq k < 3^{n-1}} [/mm] ( [mm] (1+3k)3^{-n}, (2+3k)3^{-n} [/mm] )$
Die Vereinigung der aus [mm] $C_{n-1}$ [/mm] im n-ten Iterationsschritt entfernten offenen Intervalle. Wir definieren die Funktion $f:[0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] durch $f(x)=0$ für $x [mm] \in [/mm] C$ und
$f(x) = [mm] (x-u)^2(x-v)^2 \sin{\frac{1}{(v-u)(x-u)(v-x)}}$
[/mm]
für $u < x < v$, wenn $(u,v)$ eines der offenen Intervalle ist, aus denen S besteht.
Zeigen Sie, dass f im Intervall (0,1) differenzierbar ist und eine beschränkte Ableitung hat, die in jedem Punkt von S stetig und in jedem Punkt von C unstetig ist. |
So, die Aufgabe hat mir schon ordentlich Kopfzerbrechen bereitet. Schon der erste Teil ist meines Erachtens nach recht tricky.
(Differenzierbarkeit)
Ich zeige erst mal das f stetig auf (0,1) ist. Denn:
a) f ist stetig in S. Das ist trivial denn es gibt keine "Problemzonen".
b) Sei also [mm] $x_0 \in [/mm] C$. Dann gilt:
[mm] $\lim_{x \to x_0}f(x) [/mm] = [mm] \lim_{x \to x_0} (x-u)^2(x-v)^2 \cdot \lim_{x \to x_0} \sin{\left ( \frac{1}{(u-v)(x-u)(v-x) \right )}} [/mm] = 0$
Da der erste Teil gegen 0 konvergiert und Sinus durch -1 und 1 beschränkt ist.
Da f nun stetig auf (0,1) können wir f als Verknüpfung differenzierbarer Funktionen ansehen. Damit ist f selbst differenzierbar.
Das wär Part 1. Bisher so richtig? Oder hab ich was übersehen?
(Beschränktheit)
Jetzt wirds aber komisch. Also erst mal schaut f' extrem hässlich aus. (siehe Wolframalpha)
Wir teilen an einigen stellen durch (x-u) (zum Beispiel). Damit wird der Therm aber unendlich da x ja beliebig nah an u herangeht. Dann ist die Ableitung aber überhaupt nicht beschränkt.
(Stetig in S)
Ich denke das ist klar. Läuft ja ab wie oben bei f.
(Unstetig in C)
Jetzt wirds wirklich komisch. Mein f' ist doch für $x [mm] \in [/mm] C$ überhaupt nicht definiert. Wie wählen wir denn u und v für die Ableitung wenn x aus C?
Können wir einfach sagen f' soll wieder 0 sein für x aus C? Aber mit was erlaubt mir das?
Vielen Dank schon mal für die Hilfe.
Liebe Grüße, Highchiller
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:22 Do 10.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:55 Do 10.05.2012 | | Autor: | donquijote |
> Es sei [mm]C = [0,1] \setminus S[/mm] das Cantorsche Diskontinuum,
> wobei [mm]S = S_1 \cup S_2 \cup ...[/mm] ist und die Menge
> [mm]S_n = \bigcup_{0 \leq k < 3^{n-1}} ( (1+3k)3^{-n}, (2+3k)3^{-n} )[/mm]
>
> Die Vereinigung der aus [mm]C_{n-1}[/mm] im n-ten Iterationsschritt
> entfernten offenen Intervalle. Wir definieren die Funktion
> [mm]f:[0,1] \to \IR[/mm] durch [mm]f(x)=0[/mm] für [mm]x \in C[/mm] und
> [mm]f(x) = (x-u)^2(x-v)^2 \sin{\frac{1}{(v-u)(x-u)(v-x)}}[/mm]
>
> für [mm]u < x < v[/mm], wenn [mm](u,v)[/mm] eines der offenen Intervalle
> ist, aus denen S besteht.
> Zeigen Sie, dass f im Intervall (0,1) differenzierbar ist
> und eine beschränkte Ableitung hat, die in jedem Punkt von
> S stetig und in jedem Punkt von C unstetig ist.
> So, die Aufgabe hat mir schon ordentlich Kopfzerbrechen
> bereitet. Schon der erste Teil ist meines Erachtens nach
> recht tricky.
>
> (Differenzierbarkeit)
> Ich zeige erst mal das f stetig auf (0,1) ist. Denn:
> a) f ist stetig in S. Das ist trivial denn es gibt keine
> "Problemzonen".
> b) Sei also [mm]x_0 \in C[/mm]. Dann gilt:
> [mm]\lim_{x \to x_0}f(x) = \lim_{x \to x_0} (x-u)^2(x-v)^2 \cdot \lim_{x \to x_0} \sin{\left ( \frac{1}{(u-v)(x-u)(v-x) \right )}} = 0[/mm]
>
> Da der erste Teil gegen 0 konvergiert und Sinus durch -1
> und 1 beschränkt ist.
>
> Da f nun stetig auf (0,1) können wir f als Verknüpfung
> differenzierbarer Funktionen ansehen. Damit ist f selbst
> differenzierbar.
>
> Das wär Part 1. Bisher so richtig? Oder hab ich was
> übersehen?
>
> (Beschränktheit)
> Jetzt wirds aber komisch. Also erst mal schaut f' extrem
> hässlich aus. (siehe Wolframalpha)
> Wir teilen an einigen stellen durch (x-u) (zum Beispiel).
> Damit wird der Therm aber unendlich da x ja beliebig nah an
> u herangeht. Dann ist die Ableitung aber überhaupt nicht
> beschränkt.
>
> (Stetig in S)
> Ich denke das ist klar. Läuft ja ab wie oben bei f.
>
> (Unstetig in C)
> Jetzt wirds wirklich komisch. Mein f' ist doch für [mm]x \in C[/mm]
> überhaupt nicht definiert. Wie wählen wir denn u und v
> für die Ableitung wenn x aus C?
Für [mm] x\in [/mm] S ist [mm] |f(x)|\le d^2, [/mm] wobei d der Abstand zum nächstgelegenen Randpunkt ist (folgt aus [mm] |sin...|\le [/mm] 1).
Daraus folgt für beliebige [mm] x\in [/mm] C und beliebiges h
[mm] |f(x+h)-f(x)|=|f(x+h)|\le h^2.
[/mm]
Jetzt bildest du den Differenzenquotienten und erhältst mit [mm] h\to [/mm] 0
f'(x)=0 für alle [mm] x\in [/mm] C
> Können wir einfach sagen f' soll wieder 0 sein für x aus
> C? Aber mit was erlaubt mir das?
>
> Vielen Dank schon mal für die Hilfe.
> Liebe Grüße, Highchiller
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