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| Aufgabe | Diese Aufgabe ist zu lösen, ohne den Logarithmus zu benutzen.
Ist p(t) die Anzahl der Individuen in einer Bakterienpopulation zur Zeit t, die unter günstigen Bedingungen wächst, dann gilt p'(t)=k*p(t) mit einer Konstanten k [mm] \in \IR.
[/mm]
Eine Bakterienpopulation bestehe nach 3 Tagen aus 120 und nach 6 Tagen aus 960 Idividuen. Wie groß war sie zur Zeit t=0? Wie groß ist sie nach 12 Tagen? |
Ich habe leider keinen Ansatz wie ich anfangen soll...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:20 Fr 09.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Diese Aufgabe ist zu lösen, ohne den Logarithmus zu
> benutzen.
>
> Ist p(t) die Anzahl der Individuen in einer
> Bakterienpopulation zur Zeit t, die unter günstigen
> Bedingungen wächst, dann gilt p'(t)=k*p(t) mit einer
> Konstanten k [mm]\in \IR.[/mm]
> Eine Bakterienpopulation bestehe
> nach 3 Tagen aus 120 und nach 6 Tagen aus 960 Idividuen.
> Wie groß war sie zur Zeit t=0? Wie groß ist sie nach 12
> Tagen?
> Ich habe leider keinen Ansatz wie ich anfangen soll...
Es gilt [mm] p(t)=ce^{kt} [/mm] , wobei c=p(0)
Aus obigen Angaben bekommt man
[mm] 120=ce^{3k} [/mm] und [mm] 960=ce^{6k}=c(e^{3k})^2.
[/mm]
Hilft das ?
FRED
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Ich hab jetzt einfach mal versucht damit weiterzurechenen, ist aber kompletter Schwachsinn glaub ich ... könnte mir jemand zeigen wies richtig geht??
Also ich hab gerechnet:
[mm] 120^{2}=p_{0}^{2}*e^{k*6}
[/mm]
[mm] e^{k*6}=\bruch{120^{2}}{p_{0}^{2}}
[/mm]
[mm] e^{k*6}=\bruch{960}{p_{0}}
[/mm]
[mm] \bruch{120^{2}}{p_{0}^{2}}=\bruch{960}{p_{0}}
[/mm]
[mm] \bruch{120^{2}}{960}=p_{0}
[/mm]
[mm] p_{0}=15
[/mm]
p(0)=15 Idividuen
Und wie komme ich auf p(12) ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:59 Fr 09.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich hab jetzt einfach mal versucht damit weiterzurechenen,
> ist aber kompletter Schwachsinn glaub ich ... könnte mir
> jemand zeigen wies richtig geht??
> Also ich hab gerechnet:
> [mm]120^{2}=p_{0}^{2}*e^{k*6}[/mm]
> [mm]e^{k*6}=\bruch{120^{2}}{p_{0}^{2}}[/mm]
> [mm]e^{k*6}=\bruch{960}{p_{0}}[/mm]
> [mm]\bruch{120^{2}}{p_{0}^{2}}=\bruch{960}{p_{0}}[/mm]
> [mm]\bruch{120^{2}}{960}=p_{0}[/mm]
> [mm]p_{0}=15[/mm]
> p(0)=15 Idividuen
Ich frage mich, was Du eigentlich hast ? Es ist doch alles bestens. p(0)=15 stimmt.
>
> Und wie komme ich auf p(12) ??
Mit [mm]e^{k*6}=\bruch{960}{p_{0}}[/mm] und [mm] p_0=15 [/mm] kommst Du auf [mm] e^{6k}=8.
[/mm]
Edit: natürlich lautet es: [mm] e^{6k}=64,
[/mm]
Es ist [mm] p(12)=15*e^{12k}=15*(e^{6k})^2
[/mm]
FRED
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Wenn ich doch jetzt [mm] e^{6k}=8 [/mm] einsetze dann bekomme ich:
[mm] p(12)=15*8^{2}=960
[/mm]
Aber das ist ja der selbe Wert wie bei p(6) ???
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Hallo,
> Wenn ich doch jetzt [mm]e^{6k}=8[/mm] einsetze dann bekomme ich:
> [mm]p(12)=15*8^{2}=960[/mm]
> Aber das ist ja der selbe Wert wie bei p(6) ???
>
Hm, ich glaube da hat FRED sich vertippt: die Population wächst jeweils in drei Tagen um das achtfache, also ist
[mm] e^{3k}=8
[/mm]
und dementsprechend
[mm] p(12)=15*\left(e^{3k}\right)^4=15*8^4
[/mm]
Gruß, Diophant
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Hab ich entdeckt ;) ... Nur etwas zu spät xD ... Danke :D
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Ist [mm] e^{6k} [/mm] nicht 64 anstatt 8??
Dann wären das nach 12 Tagen 61440 Idividuen ...
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Hallo,
> Ist [mm]e^{6k}[/mm] nicht 64 anstatt 8??
> Dann wären das nach 12 Tagen 61440 Idividuen ...
Doch: genau so ist es. 
Gruß, Diophant
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