Funktion differenzierbar? < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 Do 20.09.2007 | | Autor: | alexmart |
| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende Funktion auf Differenzierbarkeit:
f(x) = (1 + [mm] x^{17}) e^{x} [/mm] für alle x [mm] \varepsilon \IR
[/mm]
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Hallo,
ich hätte mal eine Frage zur Differenzierbarkeit von Funktionen.
Die Ableitung bestimmen ist mir klar.
Doch die Aufgaben, die in der Klausur dran kommen, verlangen zuerst, dass man die Funktion auf differenzierbarkeit untersucht.
Auf der einen Seite könnte man ja ggf. über die Verkettung von diff. -baren Funktionen argumentieren und an interessanten bruchstellen, die GLeichheit von rechts- und linksseitigem Grenzwert prüfen.
Auf der anderen Seite frage ich mich, wie man am Besten vorgeht, wenn man zeigen möchte, dass eine Funktion auf ganz [mm] \IR [/mm] differenzierbar ist.
Bei obiger Aufgabe bin ich so vorgegangen:
Eine Funktion f ist auf ganz [mm] \IR [/mm] differenzierbar, wenn für alle x [mm] \varepsilon \IR [/mm] ein Grenzwert für
f' (x) = [mm] \limes_{h \rightarrow 0} \bruch{f(x+h) - f(x)}{h}
[/mm]
existiert.
Also:
f' (x) = [mm] \limes_{h \rightarrow 0} \bruch{(1 + (x+h)^{17}) e^{x+h} - ((1 + x^{17}) e^{x})}{h} [/mm] = [mm] \bruch{"0"}{"0"}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] wg. Regel von L'Hôpital:
f' (x) = [mm] \limes_{h \rightarrow 0} (17(x+h)^{16}e^{x+h}+(1+(x+h)^{17})e^{x+h}-(17 x^{16}e^{x}+(1+x^{17})e^{x})) [/mm] = 0
Das gilt unabhängig von x, sodass die Funktion für alle x [mm] \varepsilon \IR [/mm] differenzierbar wäre, was sie ja auch tatsächlich ist.
Erstmal: Stimmt das so?
Desweiteren würde mich mal interessieren, wie ihr das zeigen würdet.
Ich bin für jede Antwort sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Mit freundlichen Grüßen
Alexander
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Do 20.09.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Alex,
das geht leider nicht so. Wenn du die Differenzierbarkeit der Funktion zu zeigen hast, dann darfst du diese nicht selbst schon voraussetzen. Das tust du aber bei Anwendung der Regel von L'Hospital.
Deine erste Idee war schon perfekt. Man zeigt die Differenzierbarkeit am einfachsten, indem man verwendet, daß Summen, Differenzen, Produkte und (wo Nenner nicht Null) auch Quotienten von diffbaren Funktionen diffbar sind. Außerdem gilt das auch für beliebige Verkettungen:
Hier konkret: Alle Potenzfunktionen sind diffbar. Die konstante Funktion 1 ist diffbar, also auch ihre Summe. Die e-Fkt ist diffbar und damit auch das Produkt der e-Fkt mit der genannten Summe.
Über den Differenzenquotienten solltest du nur gehen, wenn es sich partout nicht vermeiden läßt, und das ist sehr selten.
Für abschnittsweise definierte Funktionen reicht es die diffbarkeit der Teilfunktionen zu zeigen und die diffbarkeit an den Nahtstellen. Dazu reicht es zu prüfen, ob die Ableitungen im Übergangspunkt gleich wären.
Wenn jetzt noch Fragen offen gebleiben sind, poste bitte ein Beispiel, bei dem dir die Vorgehensweise nicht klar wäre.
MFG, koepper
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