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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 Mi 03.10.2007 | | Autor: | Phecda |
hi
unser dozent hat gesagt, dass integral sei ein funktional.
das heißt es ist eine funktion (Abbildung) die einer fkt eine zahl zuordnet.
ist ein funktional also immer eine abblidung von einer fkt auf eine Zahl? oder steckt mehr dahinter?
Die Ableitung ist doch dann auch ein Funktional?
Oder was heißt so genau der begriff. wikipedia sagt ja abbildung eines Vektorraums auf ein Körper.
super ^^
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:28 Mi 03.10.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> unser dozent hat gesagt, dass integral sei ein
> funktional.
> das heißt es ist eine funktion (Abbildung) die einer fkt
> eine zahl zuordnet.
im prinzip ja. du hast unten ja schon die (fast) korrekte definition genannt. nämlich sind für einen $K$-vektorraum $V$ die funktionale gerade die linearen abbildungen $f: V [mm] \longrightarrow [/mm] K$.
> ist ein funktional also immer eine abblidung von einer fkt
> auf eine Zahl? oder steckt mehr dahinter?
wie oben geschrieben muss man eben noch fordern, dass die abbildungen linear sind. als vektorräume auf denen die funktionale definiert sind betrachtet man heute auch beliebige vektorräume, ursprünglich waren funktionale aber nur auf funktionenräumen definiert.
> Die Ableitung ist doch dann auch ein Funktional?
nein. die ableitung bildet doch eine (differnzierbare) funktion wieder auf einen funktion ab, also nicht auf ein körperelement. aber etwa die auswertung der ableitung an einer bestimmten stelle ist ein funktional: sei $V = [mm] \{f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}: f \textrm{ differnzierbar} \}$ [/mm] der [mm] $\mathbb{R}$-vektorraum [/mm] der differnzierbaren funktionen, dann ist etwa $F: V [mm] \longrightarrow \mathbb{R}; [/mm] f [mm] \longmapsto [/mm] F(f) := f'(1)$ ein funktional. prüfe einfach nach, dass dies eine lineare abbildung von $V$ nach [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] ist.
grüße
andreas
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