Funktionen Folge in C⁰ < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:24 Di 03.02.2009 | | Autor: | Master_X |
Hey ihr,
wenn ich die Funktionenfolge [mm] f_{n}(x) [/mm] = [mm] \bruch{x}{n} [/mm] auf [0,1] betrachte, gegen welche stetige Funktion konvergiert diese Folge in der Supremumsnorm?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:34 Di 03.02.2009 | | Autor: | pelzig |
gegen 0.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 Di 03.02.2009 | | Autor: | Master_X |
Danke.
Hab leider die falsche Frage gestellt, hab eigentlich an diese Folge gedacht.
f(x) = [mm] x^{n}
[/mm]
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Hi, mache hier die Fallunterscheidung $x=1$ und [mm] $x\in[0,1)$.
[/mm]
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:00 Di 03.02.2009 | | Autor: | Master_X |
Bekomme ich dann die Grenzfunktion:
0 auf [0,1) und 1 für x=1?
Diese wäre aber nicht stetig. Und ist das dann nicht ein Wiederspuch zur Vollständigkeit von C⁰?
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> Bekomme ich dann die Grenzfunktion:
> 0 auf [0,1) und 1 für x=1?
>
Genau! Somit konvergiert die Folge nicht gleichmäßig, sondern nur punktweise.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:09 Mi 04.02.2009 | | Autor: | Master_X |
Ist [mm] f_{n} [/mm] nicht eine Cauchy-Folge in C⁰ und müsste deshalb nicht die Grenzfunktion wegen der vollständigkeit wieder in C⁰ liegen?
Oder wo ist mein Denkfehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:57 Mi 04.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Ist [mm]f_{n}[/mm] nicht eine Cauchy-Folge in C⁰ und müsste
> deshalb nicht die Grenzfunktion wegen der vollständigkeit
> wieder in C⁰ liegen?
Wieso sollte es eine Cauchy-Folge sein?
> Oder wo ist mein Denkfehler?
Es ist keine Cauchy-Folge.
Du kannst durch die Wahl von $x$ und $n, m$ immer Abstaende von [mm] $\ge \frac{1}{2}$ [/mm] bekommen.
(Waehle $n$ beliebig gross; dann gibt es ein $x [mm] \in [/mm] (0, 1)$ mit [mm] $x^n [/mm] = [mm] \frac{3}{4}$; [/mm] nun gilt [mm] $x^m \to [/mm] 0$ fuer $m [mm] \to \infty$, [/mm] womit es ein $m [mm] \in \IN$, [/mm] $m > n$ mit [mm] $x^m [/mm] < [mm] \frac{1}{4}$ [/mm] gibt; dann ist aber [mm] $|x^n [/mm] - [mm] x^m| [/mm] > [mm] \frac{1}{2}$.)
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:10 Mi 04.02.2009 | | Autor: | Master_X |
Super, danke.
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