GL und SL < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:01 So 18.10.2009 | | Autor: | johnny11 |
| Aufgabe | | K sei ein Körper. Dann sind GL(n,K) und SL(n,K) Gruppen bezüglich Matrixmultiplikation. Zu welcher bekannten Gruppe ist GL(n,K)/SL(n,K) isomorph? |
Es muss sich hierbei um die Gruppe K* handeln. Also die multiplikative Gruppe von K ohne 0. Doch ich weiss nicht genau, wie ich dies zeigen kann.
Ich glaube, dass ich mit der Determinantenabbildung arbeiten könnte. Doch wie kann ich auf diese Weise einen Isomorphismus basteln?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:07 So 18.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> K sei ein Körper. Dann sind GL(n,K) und SL(n,K) Gruppen
> bezüglich Matrixmultiplikation. Zu welcher bekannten
> Gruppe ist GL(n,K)/SL(n,K) isomorph?
>
> Es muss sich hierbei um die Gruppe K* handeln.
Genau.
> Also die
> multiplikative Gruppe von K ohne 0. Doch ich weiss nicht
> genau, wie ich dies zeigen kann.
> Ich glaube, dass ich mit der Determinantenabbildung
> arbeiten könnte. Doch wie kann ich auf diese Weise einen
> Isomorphismus basteln?
Nun, die Determinante ist doch ein Homomorphismus $GL(n, K) [mm] \to K^\ast$. [/mm] Was ist der Kern? Ist sie surjektiv? Kennst du den Homomorphiesatz?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:21 So 18.10.2009 | | Autor: | johnny11 |
aja genau, mit dem homomorphisatz klappts prima. 
danke.
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