Galoisgruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei p [mm] \not= [/mm] 5 prim und a [mm] \in \IF_{p}^{\*}. [/mm] Bestimmen Sie die Galoisgruppe von [mm] x^{5}-a. [/mm] |
Hi,
weiss jetzt gar nicht, wie ich hier so allgemein die Galoisgruppe bestimmen könnte.
Hat jemand vllt einen Einstiegstipp? 
LG
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Hallo,
ich würd ne Fallunterscheidung machen, ob [mm] $\mathbb F_p$ [/mm] die 5-ten Einheitswurzeln enthält oder nicht, ersteres ist der einfachere fall.
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Hi,
ok, also Fallunterscheidung.
[mm] \IF_{p} [/mm] enthält die fünften Einheitswurzeln:
Sei [mm] b:=\wurzel[5]{a} \in \IF_{p}^{\*} [/mm] und [mm] \zeta [/mm] die fünfte Einheitswurzel und [mm] \IF_{p}^{\*}:=K
[/mm]
Dann [mm] f(x)=x^{5}-a=\produkt_{i=0}^{4}(x-\zeta^{i}b) \in [/mm] K[x]
Dann [mm] Gal(f,K)=\{id\}
[/mm]
Wenn b [mm] \not\in [/mm] K, dann sei E der Zerfällungskörper von f
[mm] Gal(f,K)=Aut(E,K)=\{\varphi_{i}\}, [/mm] mit
[mm] \varphi_{i}(b)=\zeta^{i}b, [/mm] i=0,1,2,3,4
Aut(E,K) besitzt fünf Elemente, also isomorph zu [mm] \IZ_{5}
[/mm]
Wäre das bis hierhin schon mal ok?
LG
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> Hi,
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> ok, also Fallunterscheidung.
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> [mm]\IF_{p}[/mm] enthält die fünften Einheitswurzeln:
> Sei [mm]b:=\wurzel[5]{a} \in \IF_{p}^{\*}[/mm] und [mm]\zeta[/mm]
- [mm] $\wurzel[5]{a} \notin \mathbb F_p$ [/mm] in fast allen Fällen.
- Die Definition [mm] $b:=\wurzel[5]{a}$ [/mm] ist extrem bedenklich und irreführend, da die Wurzel nicht eindeutig ist. Richtig : Sei b Nullstelle von f.
> die fünfte Einheitswurzel und [mm]\IF_{p}^{\*}:=K[/mm]
- Es gibt nicht "die" fünfte Einheitswurzel. Insbesondere funktioniert das nachfolgende nicht für eine fünfte EW, die 1.
- Weshalb du K definierst versteh ich nicht.
> Dann [mm]f(x)=x^{5}-a=\produkt_{i=0}^{4}(x-\zeta^{i}b) \in[/mm]
> K[x]
Da K kein Körper/Ring/Modul, wozu dient die Bezeichnung K[X]?
> Dann [mm]Gal(f,K)=\{id\}[/mm]
Da K kein Körper ist, was soll das hier sein?
> Wenn b [mm]\not\in[/mm] K, dann sei E der Zerfällungskörper von f
> [mm]Gal(f,K)=Aut(E,K)=\{\varphi_{i}\},[/mm] mit
undefinierte Objekte, siehe oben. Auch die letzte Menge ist undefiniert, was ist hier i?
> [mm]\varphi_{i}(b)=\zeta^{i}b,[/mm] i=0,1,2,3,4
>
> Aut(E,K) besitzt fünf Elemente, also isomorph zu [mm]\IZ_{5}[/mm]
>
> Wäre das bis hierhin schon mal ok?
Nein. Es zeugt eher von Problemen in der mathematischen Ausdrucksweise.
> LG
>
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Ok,
stimmt [mm] \IF_{p}^{\*} [/mm] ist kein Körper, da haste natürlich recht, hatte ich übersehen.
Also sei b Nullstelle von [mm] f(x)=x^{5}-a
[/mm]
Fall 1) In [mm] \IF_{p} [/mm] befindet sich keine fünfte Einheitswurzel
Sei [mm] \zeta [/mm] eine fünfte Einheitswurzel und E der Zerfällungskörper, dann
[mm] (x^{5}-a)=\produkt_{k=0}^{4}(x-\zeta^{k}*b) \in [/mm] E
[mm] Gal(f;\IF_{p})=Aut(E;\IF_{p})=\{id, \varphi_{1},\varphi_{2},\varphi_{3},\varphi_{4}\}
[/mm]
[mm] \varphi_{1}(b)=\zeta*b
[/mm]
[mm] \varphi_{2}(b)=\zeta^{2}*b
[/mm]
[mm] \varphi_{3}(b)=\zeta^{3}*b
[/mm]
[mm] \varphi_{4}(b)=\zeta^{4}*b
[/mm]
[mm] Gal(f;\IF_{p}) [/mm] besitzt 5 Elemente, also isomorph zu [mm] \IZ_{5}
[/mm]
Wäre das ok?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:35 Do 29.05.2014 | | Autor: | hippias |
Das ist nicht O.K.: Du hast naemlich nur Kandidaten fuer Automorphismen aufgezaehlt und auch nicht untersucht, ob sie alle verschieden sind. Ich behaupte, dass unter den von Dir gemachten Voraussetzungen die Ordnung der Auomorphismengruppe hoechstens $4$ ist.
Wie MaslanyFanclub bereits vorgeschlagen hat: verschaffe Dir Klarheit ueber den Zerfaellungskoerper $E= [mm] \IF_{p}[b\zeta^{i},i=0,\ldots,4]$.
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:51 Mi 04.06.2014 | | Autor: | derriemann |
Hm, irgendwie ist es mir nicht ganz klar, wie der Zerfällungskörper allgemein aussehen soll und dementsprechend faellt es mir hier schwer, bestimmte Eigenschaften zu erkennen.
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Was ist denn deine Frage?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:59 Mi 04.06.2014 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > ok, also Fallunterscheidung.
> >
> > [mm]\IF_{p}[/mm] enthält die fünften Einheitswurzeln:
>
> > Sei [mm]b:=\wurzel[5]{a} \in \IF_{p}^{\*}[/mm] und [mm]\zeta[/mm]
> - [mm]\wurzel[5]{a} \notin \mathbb F_p[/mm] in fast allen Fällen.
Naja, "fast allen" ist schon etwas arg uebertrieben
Wenn $p [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{5}$ [/mm] ist, dann ist [mm] $\sqrt[5]{a}$ [/mm] fuer 4 von 5 Elementen aus [mm] $\IF_p^\ast$ [/mm] nicht in [mm] $\IF_p$, [/mm] fuer immerhin 1/5 der Elemente jedoch schon.
Und ist $p [mm] \not\equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{5}$, [/mm] so ist [mm] $\sqrt[5]{a}$ [/mm] immer in [mm] $\IF_p$. [/mm] Und $p [mm] \not\equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{5}$ [/mm] gilt immerhin fuer ein Viertel aller Primzahlen.
LG Felix
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