Galoisgruppen mit Ordnung 4 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:43 Mo 20.02.2012 | | Autor: | tinakru |
| Aufgabe | | Bestimmen sie zwei irreduzible Polynome f, g aus [mm] \IQ[x], [/mm] sodass die Galoisgruppen Gal(f) und Gal(g) gleich viele Elemente haben, aber nicht isomorph sind. |
Guten abend zusammen,
Ich knobble grade über der obigen Aufgabe. Einen Teil hab ich ja schon mal rausgefunden :)
Meine Idee: Es passiert das erste mal bei der Ordnung 4, dass es zwei Gruppen gibt, die nicht isomorph zueinander sind. Nämlich die Kleinsche Vierergruppe und [mm] \IZ/4\IZ.
[/mm]
Ein Satz aus unserer Vorlesung lautet: Ist die Galoisgruppe eines Polynoms f abelsch und besitzt n Elemente, so ist deg(f) = n.
Da beide Gruppen der Ordnung 4 abelsch sind, müssen die beiden gesuchten irreduziblen Polynome Grad 4 haben.
Ich beginne mal ein Polynom zu finden, dass die Galoisgruppe [mm] \IZ/4\IZ [/mm] hat.
Das ist noch einfach.
Betrachte das fünfte Kreisteilungspolynom:
f = [mm] x^4 [/mm] + [mm] x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + x + 1
Laut Vorlesung gilt:
Sei L der n-te Kreisteilungskörper. Die Galoigruppe [mm] Gal(L|\IQ) [/mm] ist isomorph zur Einheitengruppe von [mm] (\IZ/n\IZ).
[/mm]
Es ist [mm] Gal(L|\IQ) [/mm] = Gal(f), da L Zerfällungskörper von f ist. <<--- Stimmt das???
Es gilt:
Die Einheitengruppe von [mm] (\IZ/5\IZ [/mm] ) hat 4 Elemente (da 5 prim). Nachrechnen ergibt, dass die Gruppe isomorph zu [mm] \IZ/4\IZ [/mm] ist.
Stimmt das bis hierher mal ? 
Dann kommt nämlich mein Problem....Ich finde kein irreduzibles Polynom vom Grad 4 das die Kleinsche Vierergruppe als Galoigruppe hat.
Hier bräuchte ich Hilfe^^
Danke
und schönen Restabend :)
Tina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:02 Di 21.02.2012 | | Autor: | statler |
> Bestimmen sie zwei irreduzible Polynome f, g aus [mm]\IQ[x],[/mm]
> sodass die Galoisgruppen Gal(f) und Gal(g) gleich viele
> Elemente haben, aber nicht isomorph sind.
Guten Morgen Tina!
> Meine Idee: Es passiert das erste mal bei der Ordnung 4,
> dass es zwei Gruppen gibt, die nicht isomorph zueinander
> sind. Nämlich die Kleinsche Vierergruppe und [mm]\IZ/4\IZ.[/mm]
>
> Ein Satz aus unserer Vorlesung lautet: Ist die Galoisgruppe
> eines Polynoms f abelsch und besitzt n Elemente, so ist
> deg(f) = n.
>
> Da beide Gruppen der Ordnung 4 abelsch sind, müssen die
> beiden gesuchten irreduziblen Polynome Grad 4 haben.
>
>
> Ich beginne mal ein Polynom zu finden, dass die
> Galoisgruppe [mm]\IZ/4\IZ[/mm] hat.
>
> Das ist noch einfach.
>
> Betrachte das fünfte Kreisteilungspolynom:
>
> f = [mm]x^4[/mm] + [mm]x^3[/mm] + [mm]x^2[/mm] + x + 1
>
> Laut Vorlesung gilt:
> Sei L der n-te Kreisteilungskörper. Die Galoigruppe
> [mm]Gal(L|\IQ)[/mm] ist isomorph zur Einheitengruppe von
> [mm](\IZ/n\IZ).[/mm]
>
> Es ist [mm]Gal(L|\IQ)[/mm] = Gal(f), da L Zerfällungskörper von f
> ist. <<--- Stimmt das???
>
> Es gilt:
>
> Die Einheitengruppe von [mm](\IZ/5\IZ[/mm] ) hat 4 Elemente (da 5
> prim). Nachrechnen ergibt, dass die Gruppe isomorph zu
> [mm]\IZ/4\IZ[/mm] ist.
>
>
>
> Stimmt das bis hierher mal ?
Das sieht doch gut aus!
> Dann kommt nämlich mein Problem....Ich finde kein
> irreduzibles Polynom vom Grad 4 das die Kleinsche
> Vierergruppe als Galoigruppe hat.
Wie wäre es mit [mm] (x^2 [/mm] + [mm] 1)(x^2 [/mm] - 2) = [mm] x^4 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] - 2? Das ist allerdings offenbar reduzibel. Aber vielleicht kannst du selbst durch eine kleine Abänderung ein irreduzibles finden, was es tut.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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