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Gebiet: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:10 Fr 23.09.2016
Autor: Mathe-Lily

Aufgabe
Jede bogenweise zusammenhängende Menge D [mm] \subset \IC [/mm] ist zusammenhängend, d.h. jede lokal konstante Funktion auf D ist konstant.

Beweis:
Sei f: D [mm] \to \IC [/mm] lokal konstant.
Wenn f nicht konstant ist, so existieren Punkte z, w [mm] \in [/mm] D mit f(z) [mm] \not= [/mm] f(w).
Wir verbinden z und w durch eine innerhalb D verlaufende stückweise glatte Kurve [mm] \alpha: [/mm] [a,b] [mm] \to [/mm] D. Wegen der Stetigkeit von [mm] \alpha [/mm] ist auch [mm] g(t)=f(\alpha(t)) [/mm] lokal konstant.
Daher gilt g'(t)=0 und deshalb g=const.
Aber es ist g(a)=f(z) [mm] \not= [/mm] f(w) = g(b).

Hallo!

Meine Schwierigkeit liegt hierin: ich verstehe nicht, warum g global konstant ist!
Also wir sagen g(t) ist lokal konstant, ok. Daraus folgt, dass g'(t)=0, aber nur lokal, oder?
Welchen Schritt verpasse ich hier?
Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen!

Liebe Grüße, Lily

        
Bezug
Gebiet: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:16 Fr 23.09.2016
Autor: Al-Chwarizmi


> Jede bogenweise zusammenhängende Menge D [mm]\subset \IC[/mm] ist
> zusammenhängend, d.h. jede lokal konstante Funktion auf D
> ist konstant.
>  
> Beweis:
> Sei f: D [mm]\to \IC[/mm] lokal konstant.
>  Wenn f nicht konstant ist, so existieren Punkte z, w [mm]\in[/mm] D
> mit f(z) [mm]\not=[/mm] f(w).
>  Wir verbinden z und w durch eine innerhalb D verlaufende
> stückweise glatte Kurve [mm]\alpha:[/mm] [a,b] [mm]\to[/mm] D. Wegen der
> Stetigkeit von [mm]\alpha[/mm] ist auch [mm]g(t)=f(\alpha(t))[/mm] lokal
> konstant.
>  Daher gilt g'(t)=0 und deshalb g=const.
> Aber es ist g(a)=f(z) [mm]\not=[/mm] f(w) = g(b).
>  Hallo!
>  
> Meine Schwierigkeit liegt hierin: ich verstehe nicht, warum
> g global konstant ist!
>  Also wir sagen g(t) ist lokal konstant, ok. Daraus folgt,
> dass g'(t)=0, aber nur lokal, oder?
>  Welchen Schritt verpasse ich hier?
>  Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen!
>  
> Liebe Grüße, Lily


Guten Abend Lily

Ich muss vorausschicken, dass mir nicht ganz klar ist, was
hier vorausgesetzt ist und was behauptet wird.

g'(t)=0  ist zunächst eine "lokale" Aussage. Das Wichtige liegt
aber darin, dass diese Eigenschaft für alle t  gelten soll,
in dem gesamten Intervall, das zur Beschreibung der Verbindungs-
kurve benötigt wird. Dann wird einfach der Satz verwendet,
dass für eine auf einem Intervall [a,b]  differenzierbare reelle
Funktion g , deren Ableitung auf dem ganzen Intervall verschwindet,
die Gleichung  g(a)=g(b)  gelten muss.

LG  ,   Al-Chwarizmi




Bezug
        
Bezug
Gebiet: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:22 Fr 23.09.2016
Autor: fred97


> Jede bogenweise zusammenhängende Menge D [mm]\subset \IC[/mm] ist
> zusammenhängend, d.h. jede lokal konstante Funktion auf D
> ist konstant.
>  
> Beweis:
> Sei f: D [mm]\to \IC[/mm] lokal konstant.
>  Wenn f nicht konstant ist, so existieren Punkte z, w [mm]\in[/mm] D
> mit f(z) [mm]\not=[/mm] f(w).
>  Wir verbinden z und w durch eine innerhalb D verlaufende
> stückweise glatte Kurve [mm]\alpha:[/mm] [a,b] [mm]\to[/mm] D. Wegen der
> Stetigkeit von [mm]\alpha[/mm] ist auch [mm]g(t)=f(\alpha(t))[/mm] lokal
> konstant.
>  Daher gilt g'(t)=0 und deshalb g=const.
> Aber es ist g(a)=f(z) [mm]\not=[/mm] f(w) = g(b).
>  Hallo!
>  
> Meine Schwierigkeit liegt hierin: ich verstehe nicht, warum
> g global konstant ist!

Ich würde so argumentieren: g ist lokal konstant und der Def. _bereich von g, das Intervall [a,b], ist zusammenhängend, somit ist g auf [a,b] konstant.

FRED


>  Also wir sagen g(t) ist lokal konstant, ok. Daraus folgt,
> dass g'(t)=0, aber nur lokal, oder?
>  Welchen Schritt verpasse ich hier?
>  Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen!
>  
> Liebe Grüße, Lily


Bezug
                
Bezug
Gebiet: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:31 So 25.09.2016
Autor: Mathe-Lily

Achso, danke :-)

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