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| Aufgabe | Berechnen Sie die Eigenvektoren und Eigenwerte der Matrix
[mm] A=\pmat{ -1/3 & -1/3 \\ 4/3 & -5/3 } [/mm] |
Hallo zusammen,
vom Prinzip her sollte das ganze eigentlich kein Problem sein, aber...
Ich komme auf die Eigenwerte:
[mm] \lambda_{1},_{2}=-1
[/mm]
Wenn ich jetzt das GLS für die Eigenvektoren auflöse komme ich auf
[mm] \pmat{ -1/3+1 & -1/3 \\ 4/3 & -5/3+1 }\pmat{ a \\ b }
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 2a=b
d.h. ich wähle mir einen Eigenvektor [mm] \pmat{ 1 \\ 2 }
[/mm]
Der zweite Eigenvektor soll nun der generalisierte Eigenvektor [mm] \pmat{ 0 \\ -3 } [/mm] sein.
Ich kann mir nicht erklären, wie man auf diesen Eigenvektor kommt.
Mir ist klar, dass die Eigenvektoren den Eigenraum aufspannen und lin. unabh. sind.
Vielleicht könnt ihr mir da weiterhelfen.
Danke euch.
Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:03 Di 29.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie die Eigenvektoren und Eigenwerte der Matrix
>
> [mm]A=\pmat{ -1/3 & -1/3 \\ 4/3 & -5/3 }[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> vom Prinzip her sollte das ganze eigentlich kein Problem
> sein, aber...
>
>
> Ich komme auf die Eigenwerte:
> [mm]\lambda_{1},_{2}=-1[/mm]
>
> Wenn ich jetzt das GLS für die Eigenvektoren auflöse
> komme ich auf
>
> [mm]\pmat{ -1/3+1 & -1/3 \\ 4/3 & -5/3+1 }\pmat{ a \\ b }[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 2a=b
> d.h. ich wähle mir einen Eigenvektor [mm]\pmat{ 1 \\ 2 }[/mm]
>
> Der zweite Eigenvektor soll nun der generalisierte
> Eigenvektor [mm]\pmat{ 0 \\ -3 }[/mm] sein.
[mm]\pmat{ 0 \\ -3 }[/mm] ist sicher kein Eigenvektor !
Aber ein Hauptvektor. Berechne mal [mm] (A+E)^2
[/mm]
FRED
>
> Ich kann mir nicht erklären, wie man auf diesen
> Eigenvektor kommt.
> Mir ist klar, dass die Eigenvektoren den Eigenraum
> aufspannen und lin. unabh. sind.
>
> Vielleicht könnt ihr mir da weiterhelfen.
>
> Danke euch.
> Thomas
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Also erstmal danke dir.
Wenn ich [mm] (A+E)^2 [/mm] berechne komme ich auf die Nullmatrix.
Also wenn ich den Kern des Eigenraums berechne bekomme ich ja meinen obigen Vektor.
Geht man dann einfach eine Potenz weiter nach oben und berechnet den Kern dessen?
ich habe die Formeln gesehen, aber kann mir das vielleicht jemand mal in Worten ausdrücken?
Glaube das wäre ein große Hilfe.
Ich denke den Unterschied zwischen Eigenvektor und Hauptvektor habe ich ansatzweise verstanden.
Der Eigenvektor wird über den Kern des "normalen" Eigenraums bestimmt bzw. über abhängigkeiten wie z.b. [mm] \pmat{ a+b \\ a }
[/mm]
und sobald es diese Linearkombinationen nicht gibt braucht man einen Hauptvektor den man über die Potenzen des Eigenraums bestimmt?
Lieben Gruß
Thomas
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Hallo Thomas0086,
> Also erstmal danke dir.
>
> Wenn ich [mm](A+E)^2[/mm] berechne komme ich auf die Nullmatrix.
>
> Also wenn ich den Kern des Eigenraums berechne bekomme ich
> ja meinen obigen Vektor.
> Geht man dann einfach eine Potenz weiter nach oben und
> berechnet den Kern dessen?
> ich habe die Formeln gesehen, aber kann mir das vielleicht
> jemand mal in Worten ausdrücken?
> Glaube das wäre ein große Hilfe.
> Ich denke den Unterschied zwischen Eigenvektor und
> Hauptvektor habe ich ansatzweise verstanden.
> Der Eigenvektor wird über den Kern des "normalen"
> Eigenraums bestimmt bzw. über abhängigkeiten wie z.b.
> [mm]\pmat{ a+b \\ a }[/mm]
> und sobald es diese Linearkombinationen
> nicht gibt braucht man einen Hauptvektor den man über die
> Potenzen des Eigenraums bestimmt?
>
Der generalisierte Eigenvektor bzw. Hauptvektor wird durch die
Matrix [mm]A+E[/mm] auf den bereits ermittelten Eigenvektor abgebildet.
Es ist ein Vektor [mm]\overrightarrow{v}[/mm] so zu bestimmen, daß
[mm]\left(A+E\right)\overrightarrow{v}=\pmat{1 \\ 2}[/mm]
erfüllt wird.
> Lieben Gruß
> Thomas
>
Gruss
MathePower
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Ok, das habe ich soweit verstanden, auch wie ich also einen generealisierten Eigenvektor i.A. berechne.
Meine Frage wäre zuletzt noch warum man teilweise die Potenz von (A+E) betrachtet?
Danke euch
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Hallo Thomas0086,
> Ok, das habe ich soweit verstanden, auch wie ich also einen
> generealisierten Eigenvektor i.A. berechne.
>
> Meine Frage wäre zuletzt noch warum man teilweise die
> Potenz von (A+E) betrachtet?
>
Die Frage hast Du Dir schon selbst beantwortet:
Um festzustellen, irgendeine Potenz von A+E die Nullmatrix ergibt.
> Danke euch
Gruss
MathePower
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OK,
aber was bringt mir dann die Feststellung? Was passiert wenn ich die Nullmatrix herausbekomme?
Danke dir, dass du das nochmal so mit mir durchgehst.
Gruß Thomas
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Hallo Thomas0086,
> OK,
> aber was bringt mir dann die Feststellung? Was passiert
> wenn ich die Nullmatrix herausbekomme?
>
Dann hast Du die Kenntnis, das A+E nilpotent vom Grad ist.
d.h. es kann ein Vektor aus [mm]\operatorname{Kern}\left( \ \left(A+E\right)^{2} \ \right)[/mm] gewählt werden,
der nicht im [mm]\operatorname{Kern}\left( \ \left(A+E\right)} \ \right)[/mm] liegt.
Ist [mm]\vec{v} \in \operatorname{Kern}\left( \ \left(A+E\right)^{2} \ \right)[/mm] solch ein Vektor,
hier auch generalisierter Eigenvektor,
dann ist [mm]\left(A+E\right)\vec{v}[/mm] der zugehörige Eigenvektor.
> Danke dir, dass du das nochmal so mit mir durchgehst.
> Gruß Thomas
Gruss
MathePower
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Hallo,
ich glaube ich habe das soweit verstanden.
Aber heißt das, dass ich im Allgemeinen einen Grad höher gehe und dann den Kern betrachte oder suche ich die Nilpotente Matrix?
Weil zu der Nilpotenten Matrix finde ich doch keinen Eigenvektor und somit spannen zwei unabhängige Vektoren den Raum auf.
Falls ersteres zutrifft, suche ich also einen Vektor v, so dass [mm] \left(A+E\right)\vec{v_{p-1}}=\vec{v_{p}}?
[/mm]
Wobei [mm] \vec{v_{p-1}} [/mm] der Vektor aus meiner [mm] \left(A+E\right)^{2} [/mm] ist.
Also multipliziere ich den Verktor aus dem Kern von [mm] \left(A+E\right)^{2} [/mm] an [mm] \left(A+E\right) [/mm] und bekomme meinen genrealisierten Eigenvektor?
Oder suche ich mir einen generalisierten Eigenvektor der die Bedingung [mm] \left(A+E\right)\vec{v_{p-1}}=\vec{v_{p}} [/mm] erfüllt und aus den Kern [mm] \left(A+E\right)^{2} [/mm] ist?
Ich hoffe ich nerve damit nicht, aber ich möchte es mal grundlegend verstehen.
Danke schön.
Thomas
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Hallo Thomas0086,
> Hallo,
>
> ich glaube ich habe das soweit verstanden.
> Aber heißt das, dass ich im Allgemeinen einen Grad höher
> gehe und dann den Kern betrachte oder suche ich die
> Nilpotente Matrix?
Die Matrix A hat hier einen doppelten Eigenwert hat,
dann kannst Du die betreffende Matrix auf Nilpotenz untersuchen.
Ist sie nilpotent, was sie hier auch ist, dann liegen doch
die Einheitsvektoren im Kern dieser nilpotenten Matrix.
> Weil zu der Nilpotenten Matrix finde ich doch keinen
> Eigenvektor und somit spannen zwei unabhängige Vektoren
> den Raum auf.
>
> Falls ersteres zutrifft, suche ich also einen Vektor v, so
> dass [mm]\left(A+E\right)\vec{v_{p-1}}=\vec{v_{p}}?[/mm]
> Wobei [mm]\vec{v_{p-1}}[/mm] der Vektor aus meiner
> [mm]\left(A+E\right)^{2}[/mm] ist.
> Also multipliziere ich den Verktor aus dem Kern von
> [mm]\left(A+E\right)^{2}[/mm] an [mm]\left(A+E\right)[/mm] und bekomme meinen
> genrealisierten Eigenvektor?
Ja.
> Oder suche ich mir einen generalisierten Eigenvektor der
> die Bedingung [mm]\left(A+E\right)\vec{v_{p-1}}=\vec{v_{p}}[/mm]
> erfüllt und aus den Kern [mm]\left(A+E\right)^{2}[/mm] ist?
>
Wie Du hier vorgehst, ist Geschmackssache.
Ich persönlich gehe so, wie zuletzt beschrieben, vor.
> Ich hoffe ich nerve damit nicht, aber ich möchte es mal
> grundlegend verstehen.
>
> Danke schön.
> Thomas
Gruss
MathePower
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