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| Aufgabe | Sei $f : [mm] \IR \to \IR$, [/mm] dann gilt:
[mm] $\forall [/mm] x [mm] \ne [/mm] 0: x * f(x) > 0 [mm] \gdw [/mm] f(-x) = -f(x)$ |
Hallo zusammen,
bin mir nicht sicher, ob obige Aussage wirklich gilt. Denke wenn man zusätzlich noch Stetigkeit voraussetzt schon. Bin für jede Hilfe dankbar.
LG Andre
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Hallo,
meiner Ansicht nach ist die Funktion f mit
[mm] f(x)=x*e^x
[/mm]
ein Gegenbeispiel zu deiner Behauptung.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:48 Fr 16.03.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo,
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> meiner Ansicht nach ist die Funktion f mit
>
> [mm]f(x)=x*e^x[/mm]
>
> ein Gegenbeispiel zu deiner Behauptung.
>
> Gruß, Diophant
Hallo Diophant
Das ist in der Tat ein Gegenbeispiel. Noch besser wäre [mm] $f(x)=x\cdot e^{x}+1$, [/mm] da hast du die Bedingung f(x)>0 sicher erfüllt.
Marius
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Danke für die schnellen Antwort und die Gegenbeispiele. Mein Problem war wohl, dass ich zu sehr davon ausgegangen bin, dass die Behauptung stimmt. Die Gegenbeispiele sind natürlich völlig zutreffend. Gekommen bin ich auf die Äquivalenz durch ein Beispiel für Nichtlineare Schwingungen aus meiner DGL Vorlesung, um genau zu sein:
$$x''(t)+h(x(t))=0$$
In meiner Vorlesung stand als Voraussetzung
[mm] $$\forall [/mm] x [mm] \ne [/mm] 0: x *h(x)>0$$
wohingegen ich der Literatur (Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen) als Voraussetzung gefunden habe, dass $h$ ungerade sein soll. Deswegen bin ich davon ausgegangen das beides äquivalent ist. Das wirft jetzt natürlich für mich die Frage auf, warum einmal diese und einmal jene Voraussetzung gesetzt wird. Mein Problem liegt da aber wohl im physikalischen Verständnis wie diese Differentialgleichung überhaupt zustande kommt. Beides trifft auf den sinus zu, der wohl das Standartbeispiel für $h(x)$ ist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:44 Fr 16.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andre!
Die Eigenschaft [mm]f(-x) \ = \ -f(x)[/mm] beschreibt eine ungerade (und keine gerade) Funktion. ![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]")
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:57 Fr 16.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Andre,
Diophant hat dir ja schon ein Gegenbeispiel zur Hinrichtung genannt. Die Rückrichtung ist ebenfalls falsch: Betrachte z.B. für f die Funktion konstant =0.
Wie kommst du auf die vermutete Äquivalenzaussage?
Die Aussage [mm] $\forall x\not=0: x\cdot [/mm] f(x)>0$ bedeutet übrigens nichts anderes als $f(x)>0$ für alle $x>0$ und $f(x)<0$ für alle $x<0$.
Viele Grüße
Tobias
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