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Geschgorin-Kreise: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:22 Mi 23.11.2011
Autor: jebote

Aufgabe
Zeigen Sie, dass alle Eigenwerte einer Matrix A [mm] \in \IR^{n,n} [/mm] in der Vereinigung der sogenannten Gerschgorin-Kreise [mm] K_{i}=\{z\in \IC: |z-a_{ii}|\le \summe_{j=i,j\not= i}^{n}|a_{ij}\}, [/mm] i=1,...,n liegen.
(Hinweis: Betrachten Sie zu gegebenem Eigenwert [mm] \lambda [/mm] einen Eigenvektor x mit normierter maximaler Komponente [mm] |x_{i}|=1.) [/mm]

Keine Ahnung wie ich hier den Ansatz wählen soll.
Ich habe von diesen Kreise noch nie gehört, wäre nett, wenn mir einer einen Tipp geben kann.
Danke im Voraus.

Grüße

        
Bezug
Geschgorin-Kreise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:44 Mi 23.11.2011
Autor: wieschoo


> Zeigen Sie, dass alle Eigenwerte einer Matrix A [mm]\in \IR^{n,n}[/mm]
> in der Vereinigung der sogenannten Gerschgorin-Kreise
> [mm]K_{i}=\{z\in \IC: |z-a_{ii}|\le \summe_{j=i,j\not= i}^{n}|a_{ij}\},[/mm]
> i=1,...,n liegen.
>  (Hinweis: Betrachten Sie zu gegebenem Eigenwert [mm]\lambda[/mm]
> einen Eigenvektor x mit normierter maximaler Komponente
> [mm]|x_{i}|=1.)[/mm]
>  Keine Ahnung wie ich hier den Ansatz wählen soll.
>  Ich habe von diesen Kreise noch nie gehört, wäre nett,
> wenn mir einer einen Tipp geben kann.
>  Danke im Voraus.

Man nimmt erst einmal alles, was man hat:

Man hat einen Eigenwert [mm]\lambda\in\IC[/mm] von einer Matrix [mm]A=(a_{ij})_{i,j=1,\ldots,n}[/mm]. Zum Eigenwert [mm]\lambda[/mm] gibt es auch einen Eigenvektor [mm]\vec{v}=\vektor{v_1\\ \vdots\\ v_n}[/mm] ([mm]\neq \vec{0}[/mm]!)

weitere Schritte:
- betragsgrößten Eintrag [mm]v_r[/mm] nehmen
- weiteren Eigenvektor [mm]v'\;[/mm] zum Eigenwert [mm]\lambda[/mm] konstruieren, wobei bei [mm]v'\;[/mm] alle Einträge betragsmäßig kleiner _____ sind
- Gleichung aus Matrix, Eigenvektor, Eigenwert aufstellen
- davon die r-te Zeile betrachten
- Dreiecksungleichung anwenden
- sich freuen




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