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Gewöhnliche lineare DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:02 So 13.02.2011
Autor: Mat_

Aufgabe
Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
$ y' = (1+x)(1+y) $
und gib das maximale Lösungsintervall an.

Nun ich habe alles ausgeklammert und mit "Trennung der Variablen" eine Lösung für das homogene Problem bestimmt.
$ [mm] y_h [/mm] = [mm] De^\(\bruch{1}{2} \x^2 [/mm] + x [mm] )\$ [/mm]

diese erfüllt die Gleichung auch. will ich nun abr mit "variation der Konstanten" eine partikuläre Lösung finden, klappt das nicht bzw. es gibt eine schweres Integral. nun möchte ich fragen wie ich diese DGL sonst lösen kann?

Gruss, Mat_

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Gewöhnliche lineare DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:22 So 13.02.2011
Autor: MathePower

Hallo Mat_,

> Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
>  [mm]y' = (1+x)(1+y)[/mm]
>  und gib das maximale Lösungsintervall
> an.
>  Nun ich habe alles ausgeklammert und mit "Trennung der
> Variablen" eine Lösung für das homogene Problem bestimmt.
> [mm]y_h = De^\(\bruch{1}{2} \x^2 + x )\[/mm]


Schreibe Exponenten immer in geschweiften Klammern: e^{\bruch{1}{2}*x^{2}+x}

Das sieht dann so aus: [mm]y = D*e^{\bruch{1}{2}*x^{2}+x}[/mm]

Offenbar hast Du hier die homogene DGL

[mm]y' - \left(1+x\right)y=0[/mm]

gelöst.

Die Methode der Trennnung der Variablen führt
sofort zur allgemeinen Lösung der DGL.


>  
> diese erfüllt die Gleichung auch. will ich nun abr mit
> "variation der Konstanten" eine partikuläre Lösung
> finden, klappt das nicht bzw. es gibt eine schweres
> Integral. nun möchte ich fragen wie ich diese DGL sonst
> lösen kann?


Entweder entschliesst Du Dich die obige DGL
über die Methode der Trennung der Variablen zulösen,
oder über den Umweg der homogenen DGL.


>
> Gruss, Mat_
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Gewöhnliche lineare DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:34 So 13.02.2011
Autor: Mat_

hei danke für die Anwort.

Nun wenn ich einfach Trennung der Variablen auspacke und das löse, bekomme ich für y =  $ y = [mm] D\cdot{}e^{\bruch{1}{2}\cdot{}x^{2}+x} [/mm] -1$

aber eigentlich habe ich ja eine DGL mit y' = a(x)y + b(x) und da habe gelern, dass man das immer in zwei schritten macht, ausser wenn die DGL nicht linear ist, weil sonst die Lösung nicht als linearkombination von einer partikulären und einer homogenen Lösung schreiben kann.

Gruss, Mat_

Bezug
                        
Bezug
Gewöhnliche lineare DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:43 So 13.02.2011
Autor: MathePower

Hallo Mat_,

> hei danke für die Anwort.
>
> Nun wenn ich einfach Trennung der Variablen auspacke und
> das löse, bekomme ich für y =  [mm]y = D\cdot{}e^{\bruch{1}{2}\cdot{}x^{2}+x} -1[/mm]


[ok]


>  
> aber eigentlich habe ich ja eine DGL mit y' = a(x)y + b(x)
> und da habe gelern, dass man das immer in zwei schritten
> macht, ausser wenn die DGL nicht linear ist, weil sonst die


Hier meinst Du wohl "wenn die DGL homogen ist".


> Lösung nicht als linearkombination von einer partikulären
> und einer homogenen Lösung schreiben kann.
>
> Gruss, Mat_


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Gewöhnliche lineare DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:51 So 13.02.2011
Autor: Mat_

gut in diesem Fall habe ich einfach a(x)= (1+x)
und somit hat die DGL die Form y'(x) = a(x)y(x) und somit ist es eine homogene DGL. ich hätte einfach das Ganze nicht aufdröseln sollen..das hat micht im endeffekt nur verwirrt! Danke für die Hilfe.

Gruss, Mat_

Bezug
                                        
Bezug
Gewöhnliche lineare DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:55 So 13.02.2011
Autor: Mat_

Ich habe vergessen, wie ich das maximale Lösungsintervall erkenne und wie ich das sauber notiere? danke!

Bezug
                                                
Bezug
Gewöhnliche lineare DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:15 So 13.02.2011
Autor: MathePower

Hallo Mat_,

> Ich habe vergessen, wie ich das maximale Lösungsintervall
> erkenne und wie ich das sauber notiere? danke!


In der Regel hängt das maximale Lösungsintervall
von der Integrationskonstanten ab.

Betrachte hier also die Gleichung

[mm]\ln\left(1+y\right)=C+\bruch{1}{2}*x^{2}+x[/mm]

Untersuche dann, für welche x diese Gleichung erfüllbar ist.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                        
Bezug
Gewöhnliche lineare DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:58 So 13.02.2011
Autor: Mat_

ln (1+y(x)) , y(x) muss grössen als -1 sein...und für x > 0 ...
Mat_

Bezug
                                                                
Bezug
Gewöhnliche lineare DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:06 So 13.02.2011
Autor: MathePower

Hallo Mat_,

> ln (1+y(x)) , y(x) muss grössen als -1 sein...und für x >
> 0 ...


Der ln kann doch alle Werte in [mm]\IR[/mm] annehmen,
demnach gibt es keine Einschränkung an die x.

Daher gilt die Lösung für alle [mm]x \in \IR[/mm]



>  Mat_


Gruss
MathePower

Bezug
                                        
Bezug
Gewöhnliche lineare DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:58 So 13.02.2011
Autor: MathePower

Hallo Mat_,

> gut in diesem Fall habe ich einfach a(x)= (1+x)
>  und somit hat die DGL die Form y'(x) = a(x)y(x) und somit
> ist es eine homogene DGL. ich hätte einfach das Ganze
> nicht aufdröseln sollen..das hat micht im endeffekt nur
> verwirrt! Danke für die Hilfe.

Ok.


>  
> Gruss, Mat_


Gruss
MathePower

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