Gleichmäßige Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 So 10.06.2007 | | Autor: | Insider2 |
Hallo,
die Aufgabe lautet:
"Welche der folgenden Funktionen ist gleichmäßig stetig?
f: [mm] \IR \to \IR
[/mm]
x [mm] \mapsto [/mm] exp(x)
und
g: [mm] \IR+ \to \IR [/mm]
x [mm] \mapsto \wurzel{x} [/mm]
Ich habe für die Funktion g gezeigt, dass die gleichmäßig stetig ist, denn:
| g(x') - g(x) | = | [mm] \wurzel{x'} [/mm] - [mm] \wurzel{x} [/mm] | = ... $ [mm] \le \wurzel{x-x'} \le \wurzel{\delta} [/mm] $ = [mm] \varepsilon/2 [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] g ist gleichmäßig stetig...
Nur: Wie zeige ich, dass die Funktion f nicht gleichmäßig stetig ist. Zu mindestens weiß ich, dass f auf [0, [mm] \infty) [/mm] nicht gleichmäßig stetig ist. Das reicht ja zu zeigen.
Danke für Tipps
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:04 So 10.06.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
ich weis nicht wie du auf die Abschätzung kommst, deshalb weis ich nicht, ob es richtig ist.
Einfacher könntest du sagen, dass g auf [0,2] glm. stetig ist, da kompaktes Intervall und g stetig, und glm. stig auf (1,unendlich), da dort die Ableitung beschränkt ist. Somit ist g auch stetig auf (0,unendlich).
Bei f betrachtest du die Differenz der Funktionswerte und klammerst [mm] e^{x} [/mm] aus.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 So 10.06.2007 | | Autor: | Insider2 |
Wie soll ich denn bei
|exp(x)-exp(y)| das [mm] e^x [/mm] ausklammern?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 So 10.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Wie soll ich denn bei
>
> |exp(x)-exp(y)| das [mm]e^x[/mm] ausklammern?
Schreib besser |exp(x+h)-exp(x)|
sonst [mm] |exp(x)-exp(y)|=e^x|1-exp(y-x)|
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:52 So 10.06.2007 | | Autor: | Insider2 |
Also, jetzt habe ich es mir noch anders überlegt:
exp(x)=exp(x-y+y)=exp(x-y)*exp(y)
[mm] \Rightarrow [/mm] exp(x)-exp(y)=exp(y)*[exp(x-y)-1]
[mm] \Rightarrow [/mm] |exp(x)-exp(y)|= exp(y)* |exp(x-y)-1| < exp(y) * [mm] \varepsilon, [/mm] falls |x-y| < [mm] \delta
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] exp ist stetig, aber nicht gleichmäßig
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Mo 11.06.2007 | | Autor: | Insider2 |
Also, jetzt habe ich es mir noch anders überlegt:
[mm] \Rightarrow [/mm] exp(x)=exp(x-y+y)=exp(x-y)*exp(y)
[mm] \Rightarrow [/mm] exp(x)-exp(y)=exp(y)*[exp(x-y)-1]
[mm] \Rightarrow [/mm] |exp(x)-exp(y)|= exp(y)* |exp(x-y)-1| < exp(y) * falls |x-y| <
[mm] \Rightarrow [/mm] exp ist stetig, aber nicht gleichmäßig
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:10 Mo 11.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu1. wo hast du gezeigt, dass [mm] \delta [/mm] unabh. von x gewählt werden kann? (kannst du auch nicht!)
zu2 du musst genauer aufschreiben, warum es Kein [mm] \delta [/mm] unabh. von x gibt!
Gruss leduart
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> Ich habe für die Funktion g gezeigt, dass die gleichmäßig
> stetig ist, denn:
>
> | g(x') - g(x) | = | [mm]\wurzel{x'}[/mm] - [mm]\wurzel{x}[/mm] | = ...
> [mm]\le \wurzel{x-x'} \le \wurzel{\delta}[/mm] = [mm]\varepsilon/2[/mm] <
> [mm]\varepsilon[/mm]
Hiho,
deine Abschätzung ist falsch. Die Wurzelfkt ist eben nicht glm. Stetig auf [mm] [0,\infty).
[/mm]
MfG,
Gono.
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