Gleichung/cos/sin < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | [mm] \alpha \in \IR [/mm] ohne [mm] \pi \IZ
[/mm]
[mm] 0=\lambda^2 [/mm] - 2 [mm] \lambda [/mm] cos [mm] \alpha [/mm] +1
Löse nach [mm] \lambda [/mm] |
[mm] \lambda_{1,2} [/mm] = 2cos [mm] (\alpha) [/mm] /2 [mm] \pm \wurzel{\frac{2cos^2(\alpha)}{4} -1}
[/mm]
= cos [mm] (\alpha) \pm \frac{\wurzel{2cos^2(\alpha)-2}}{2}
[/mm]
Wie kann ich weiter umformen?
möchte auf [mm] \lambda [/mm] = [mm] cos(\alpha) \pm [/mm] i * [mm] sin(\alpha) [/mm] kommen
LG
|
|
| |
|
Hallo thersetom,
> [mm]\alpha \in \IR[/mm] ohne [mm]\pi \IZ[/mm]
> [mm]0=\lambda^2[/mm] - 2 [mm]\lambda[/mm] cos
> [mm]\alpha[/mm] +1
> Löse nach [mm]\lambda[/mm]
> [mm]\lambda_{1,2}[/mm] = 2cos [mm](\alpha)[/mm] /2 [mm]\pm \wurzel{\frac{2cos^2(\alpha)}{4} -1}[/mm]
>
Die Lösungen ergeben sich doch so:
[mm]\lambda_{1,2}[/mm] = 2cos [mm](\alpha)[/mm] /2 [mm]\pm \wurzel{\frac{2^{\blue{2}}cos^2(\alpha)}{4} -1}[/mm]
> = cos [mm](\alpha) \pm \frac{\wurzel{2cos^2(\alpha)-2}}{2}[/mm]
>
> Wie kann ich weiter umformen?
Verwende den trigonometrischen Pythagoras:
[mm]cos^2(\alpha)+sin^2(\alpha)=1[/mm]
> möchte auf [mm]\lambda[/mm] = [mm]cos(\alpha) \pm[/mm] i * [mm]sin(\alpha)[/mm]
> kommen
>
> LG
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo ;)
dan hab ich
[mm] \lambda_{1,2}=cos (\alpha) \pm \wurzel{cos^2 (\alpha) -1}
[/mm]
> $ [mm] cos^2(\alpha)+sin^2(\alpha)=1 [/mm] $
> <=> [mm] cos^2(\alpha) [/mm] = 1- [mm] sin^2(\alpha)
[/mm]
[mm] \lambda_{1,2}=cos (\alpha) \pm \wurzel{- sin^2(\alpha)}
[/mm]
<=>
[mm] \lambda_{1,2}=cos (\alpha) \pm \wurzel{i^2 sin^2(\alpha)}
[/mm]
<=>
[mm] \lambda_{1,2}=cos (\alpha) \pm [/mm] i [mm] sin(\alpha)
[/mm]
Ich hätte noch eine andere Frage:
Wie finde ich eine Basis des lösunsraumes
[mm] ker\pmat{ -i*sin(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & -i * sin(\alpha) }
[/mm]
Ich muss finden :
[mm] \pmat{ -i*sin(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & -i * sin(\alpha) } *\vektor{x \\ y}= \vektor{0\\ 0}
[/mm]
[mm] -i*sin(\alpha) [/mm] *x [mm] -sin(\alpha)*y [/mm] =0
[mm] -sin(\alpha) [/mm] * x - i * [mm] sin(\alpha)*y=0
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo theresetom,
> Hallo ;)
> dan hab ich
> [mm]\lambda_{1,2}=cos (\alpha) \pm \wurzel{cos^2 (\alpha) -1}[/mm]
>
> > [mm]cos^2(\alpha)+sin^2(\alpha)=1[/mm]
> > <=> [mm]cos^2(\alpha)[/mm] = 1- [mm]sin^2(\alpha)[/mm]
>
> [mm]\lambda_{1,2}=cos (\alpha) \pm \wurzel{- sin^2(\alpha)}[/mm]
>
> <=>
> [mm]\lambda_{1,2}=cos (\alpha) \pm \wurzel{i^2 sin^2(\alpha)}[/mm]
>
> <=>
> [mm]\lambda_{1,2}=cos (\alpha) \pm[/mm] i [mm]sin(\alpha)[/mm]
>
>
>
> Ich hätte noch eine andere Frage:
> Wie finde ich eine Basis des lösunsraumes
> [mm]ker\pmat{ -i*sin(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & -i * sin(\alpha) }[/mm]
>
> Ich muss finden :
> [mm]\pmat{ -i*sin(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & -i * sin(\alpha) } *\vektor{x \\ y}= \vektor{0\\ 0}[/mm]
>
> [mm]-i*sin(\alpha)[/mm] *x [mm]-sin(\alpha)*y[/mm] =0
> [mm]-sin(\alpha)[/mm] * x - i * [mm]sin(\alpha)*y=0[/mm]
Hier muss Du sicherlich eine Fallunterscheidung
hinsichtlich [mm]\sin\left(\alpha\right)[/mm] machen.
Denn für [mm]\sin\left(\alpha\right) \not =0 [/mm] ist die Determinante von 0 verschieden.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Wieso spricht du von determinanten?, haben wir doch hier nicht ich will finden x,y so dass
$ [mm] ker\pmat{ -i\cdot{}sin(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & -i \cdot{} sin(\alpha) } [/mm] $ = [mm] <\vektor{x \\ y}>
[/mm]
LG
|
|
|
| |
|
Hallo theresetom,
> Wieso spricht du von determinanten?, haben wir doch hier
> nicht ich will finden x,y so dass
> [mm]ker\pmat{ -i\cdot{}sin(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & -i \cdot{} sin(\alpha) }[/mm]
> = [mm]<\vektor{x \\ y}>[/mm]
>
Das ist wohl so gemeint:
[mm]\pmat{ -i\cdot{}sin(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & -i \cdot{} sin(\alpha) } \cdot{}\vektor{x \\ y}= \vektor{0\\ 0}[/mm]
Die Lösungsmenge dieses Gleichungssystems ist eindeutig,
wenn die Determinante von Null verschieden ist.
Da die Determinante hier von [mm]\sin\left(\alpha\right)[/mm] abhängig ist,
bleibt nur eine Fallunterscheidung hinsichtlich [mm]\sin\left(\alpha\right)[/mm].
> LG
Gruss
MathePower
|
|
|
|
