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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:28 Mo 18.09.2006 | | Autor: | ratz |
Hallo,
foglende Gleichung möchte ich gern nach [mm] \alpha [/mm] umstellen:
[mm] L(D,\alpha) [/mm] := D * [mm] \bruch{(1+sin(\alpha))*cos(\alpha)}{2*sin^{2}(\alpha)}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \alpha(D,L) [/mm] := ...
Wie macht man das?
lg ratz
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:12 Mo 18.09.2006 | | Autor: | unixfan |
Beim ersten betrachten würde ich mal z:=sin [mm] \alpha [/mm] substutieren und versuchen, [mm] \cos \alpha [/mm] durch z auszudrücken. Wenn das gelingen sollte, dann hätte man im Prinzip eine quadratische Gleichung die man relativ friedlich lösen und danach resubstituieren könnte...
Aber das nur als kleine Idee - weiß nicht ob sie funktioniert....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:19 Mo 18.09.2006 | | Autor: | ratz |
Ok.
Werd das mal probieren.
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:25 Mo 18.09.2006 | | Autor: | unixfan |
Sorry, habs grad auch nochmal probiert und das führt nicht wirklich weiter glaub ich....
Ich komme damit zu einer fast genauso ekligen Gleichung....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:42 Mo 18.09.2006 | | Autor: | ratz |
Ja,
ich komm auf
[mm] 2*L*z^2 [/mm] - [mm] D*(1+z)*\wurzel{1-z^2} [/mm] = 0
aber die Gleichung dann nach z auflösen ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:12 Mo 18.09.2006 | | Autor: | ratz |
Ich habe die Substitution mit z = [mm] cos(\alpha) [/mm] versucht:
z = [mm] cos(\alpha)
[/mm]
[mm] sin(\alpha) [/mm] = [mm] \wurzel{1-cos^2(\alpha)} \Rightarrow sin(\alpha) [/mm] = [mm] \wurzel{1-z^2}
[/mm]
in die Gleichung eingesetzt ergibt sich
L = [mm] \bruch{D}{2}*\bruch{\wurzel{1-z^2}*z}{1-z^2}
[/mm]
durch kürzen erhält man
L = [mm] \bruch{D}{2}*\bruch{z}{\wurzel{1-z^2}}
[/mm]
Die Wurzel auf die andere Seite bringen und quatrieren
[mm] L^2*(1-z^2) [/mm] = [mm] \bruch{D^2}{4}*z^2
[/mm]
umstellen ergibt
[mm] z^2 [/mm] = [mm] \bruch{L^2}{\bruch{D^2}{2}+L^2}
[/mm]
z = [mm] \pm \wurzel{ \bruch{L^2}{\bruch{D^2}{2}+L^2} }
[/mm]
und damit
[mm] \alpha [/mm] = arccos [mm] (\pm \wurzel{ \bruch{L^2}{\bruch{D^2}{2}+L^2} })
[/mm]
Ist das Korrekt ?!?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:18 Mo 18.09.2006 | | Autor: | ratz |
Ich hab gerade festgestellt das ich schon bei der substitution einen fehler gemacht habe:
es muss heißen :
L = [mm] \bruch{D}{2}*\bruch{(1+\wurzel{1-z^2})*z}{1-z^2}
[/mm]
somit hat sich vorherige Idee zerschlagen
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:35 Di 19.09.2006 | | Autor: | unixfan |
Woher kommt denn die Aufgabe? Ich hab das jetzt mal ganz dreist von netten Programmen lösen lassen und muss sagen das Ergebnis schaut alles andere als schön aus.....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:50 Mi 20.09.2006 | | Autor: | ratz |
Mit dieser Gleichung wird die Länge eines CPC (Compound parabolic conzentrator) bestimmt in Abhängigkeit vom Eintrittsflächendurchmesser D und vom Kippwinkel [mm] \alpha. [/mm]
Ein CPC ist eine Fläche die durch die Rotation eines um eine Achse gekippten und verschobenen Parabelastes entsteht.
Bei einem Programm wäre es hilfreich die Länge variabel zu halten und
daraus den kippwinkel errechnen zu können. Wenn die lösung jedoch zu umfangreich ist hat das auch keinen Sinn. Die lösung würde mich aber trotzdem interessieren, aber so wies aussieht gibts kein geheimrezept für die berechung. Trotzdem danke an alle
lg ratz
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> [mm]L(D,\alpha) := D * \bruch{(1+sin(\alpha))*cos(\alpha)}{2*sin^{2}(\alpha)}[/mm]
Die von dir versuchte Substitition [mm] $\cos(\alpha) [/mm] = z$ führt, wie du richtig festgestellt hast, auf die Gleichung
$L = [mm] \bruch{D}{2}\cdot{}\bruch{(1+\wurzel{1-z^2})\cdot{}z}{1-z^2} [/mm] $.
Nach einigem Umstellen und Quadrieren erhältst du die Gleichung
$(4 [mm] L^2 [/mm] + [mm] D^2) z^4 [/mm] + 4DL [mm] z^3 [/mm] - 8 [mm] L^2 z^2 [/mm] - 4DL z + 4 [mm] L^2 [/mm] = 0$.
Die hat Grad 4 in z, ist also im Prinzip exakt auflösbar, auch wenn ich davon abraten würde. ;)
Die Substitition [mm] $\sin(\alpha)=z$ [/mm] führt dagegen auf die Gleichung
$(4 [mm] L^2 [/mm] + [mm] D^2) z^4 [/mm] + 2 [mm] D^2 z^3 [/mm] - 2 [mm] D^2 [/mm] z - [mm] D^2 [/mm] = 0$
die nicht einfacher zu lösen sein dürfte.
Gruß,
SirJective
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Mi 20.09.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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