Gleichverteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Gegeben ist eine gleichverteilte Zufallsvariable X auf dem Intervall [mm] [0,\bruch{\pi}{4}]. [/mm] Berechnen Sie die Verteilungsfunktion und die Dichtefunktion von Y = 2X+5. |
Hallo!
Ich habe hier schon ziemlich lang gerätselt und bin draufgekommen, dass gleichverteilt folgendes bedeutet:
[mm] f(x)=\left\{\begin{matrix}
0, & \mbox{wenn }x \le 0 \\
\bruch{4}{\pi}, & \mbox{wenn }0 < x < \bruch{\pi}{4} \\
0, & \mbox{wenn }x \re 0
\end{matrix}\right.
[/mm]
Ich habe also die Dichtefunktion der Zufallsvariable X schon gegeben. Nur wie bekomme ich jetzt die Funktionen für Y?
Kann mir hier bitte jemand einen kleinen Tip geben? Ich glaube es ist nicht schwer und ich brauche nur mehr einen kleinen Anstoß damit ich es schaffe!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:08 Di 08.01.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
bei solch einer Abbildung, die linear und monoton ist, bildet man einen kleinen Bereich der x-Verteilung mit Hilfe der Abbildungsvorschrift auf den y-Bereich ab.
$$ [mm] f_{Y}(y) [/mm] = [mm] \bruch{f_X (x)}{| g^{'}(x)|} [/mm] $$
Eine recht schöne Zusammenfassung habe ich ![[]](/images/popup.gif) hier gefunden.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
Super! Danke für die Antwort.
Ich habe mal versucht ein leichtes Beispiel für den Einstieg zum rechnen:
X ist gleichverteilt im Intervall [-1,1]. Ich möchte mir jetzt die Dichte von [mm] X^2 [/mm] ausrechnen:
Dafür habe ich mir einmal f(x) ausgerechnet:
[mm] f(x)=\left\{\begin{matrix}
0 & \mbox{wenn} x \le -1 ; x \ge 1 \\
\bruch{1}{2} & \mbox{wenn } -1 < x < 1
\end{matrix}\right.
[/mm]
Jetzt definiere ich Y = g(x) = [mm] X^2
[/mm]
und leite ab: g'(x) = 2x
Umkehrfunktion: [mm] g^{-1}(y) [/mm] = [mm] \wurzel{y}
[/mm]
und die neue Dichte lautet:
[mm] f(y)=\left\{\begin{matrix}
0 & \mbox{wenn} x \le -1 ; x \ge 1 \\
\bruch{1}{4 \wurzel{y}} & \mbox{wenn } -1 < x < 1
\end{matrix}\right.
[/mm]
Ist das so konzeptionell richtig? Danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Di 08.01.2008 | | Autor: | Infinit |
Für das lineare Beispiel der eigentlichen Aufgabe ist die Vorgehensweise richtig, für das hier gewählte Beispiel einer quadratischen Übertragungsfunktion jedoch leider nicht, da nicht berücksichtigt wurde, dass durch die quadratische Abbildung und den Definitionsbereich der x-Werte, der auch negative Werte enthält, jeweils 2 x-Werte auf den gleichen y-Wert abgebildet werden. Die hierbei entstehenden Einzelbeiträge müssen addiert werden. Die Vorgehensweise für solch eine Abbildungsvorschrift findet man im oben erwähnen Skript ab Seite 12.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
|
