Global Choice -> Wohlordnung V < axiomatisch < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:41 Sa 27.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen!
Mir ist klar, dass das gewöhnliche Auswahlaxiom zur Konsequenz hat, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann.
Nicht klar ist mir jedoch, warum das ![[]](/images/popup.gif) Axiom of global choice zur Folge haben soll, dass die Klasse $V$ aller Mengen wohlgeordnet werden kann.
Der Beweis mit dem gewöhnlichen Auswahlaxiom, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann, lässt sich ja nicht 1:1 übertragen: Dazu müsste man ja sozusagen aus allen nichtleeren TeilKLASSEN von $V$ (also allen nichtleeren Klassen überhaupt) simultan ein Element auswählen können.
Weiß jemand Rat oder einen Literaturhinweis/Link, wo man einen Beweis findet?
Viele Grüße
Tobias
EDIT: Natürlich folgt die Möglichkeit, $V$ wohlzuordnen, aus dem Axiom of limitation of size. Ich suche natürlich einen Beweis, der ohne dieses Axiom auskommt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:54 Sa 27.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hat sich erledigt, ich habe einen Beweis gefunden! 
Eine Folgerung aus dem Regularitätsaxiom ist, dass [mm] $V=\bigcup_{\alpha\in\operatorname{On}}V_\alpha$ [/mm] gilt.
[mm] ($V_0:=\emptyset$, $V_{\alpha+1}:=\mathcal{P}(V_\alpha)$, $V_\lambda:=\bigcup_{\alpha<\lambda}V_\alpha$ [/mm] für Limesordinalzahlen [mm] $\lambda$)
[/mm]
Sei für Mengen x die Ordinalzahl [mm] $\alpha_x$ [/mm] definiert durch
[mm] $\alpha_x:=\min\underbrace{\{\alpha\in\operatorname{On}\;|\;x\in V_\alpha\}}_{\not=\emptyset}$.
[/mm]
Dank Global Choice können wir für alle Mengen [mm] $\alpha\in\operatorname{On}$ [/mm] gleichzeitig eine Wohlordnung [mm] $<_\alpha$ [/mm] auf [mm] $V_\alpha$ [/mm] wählen.
Wir erhalten dann eine Wohlordnung von $V$ durch
[mm] $x
|
|
|
|
