Gradient bestimmen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 Di 12.06.2012 | | Autor: | Robse |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR^2 \to \IR, [/mm] (u;v) [mm] \mapsto [/mm] f(u;v) differenzierbar mit u(x;y)=x+y und v(x;y)=x-y.
a) Bestimmen Sie den Gradienten von f(x;y). |
Hallo,
ich stehe bei der Aufgabe total auf dem Schlauch. Ich weiß wie ich einen Gradienten bilde:
grad f = [mm] \vektor{\vektor{\partial f \\ \partial x} \\ \vektor{\partial f\\ \partial y}}
[/mm]
Leider hilft mir das hier nicht weiter, weil ich gar nicht erst auf f(x;y) komme?
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Robse
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Robse,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sei f: [mm]\IR^2 \to \IR,[/mm] (u;v) [mm]\mapsto[/mm] f(u;v) differenzierbar
> mit u(x;y)=x+y und v(x;y)=x-y.
>
> a) Bestimmen Sie den Gradienten von f(x;y).
> Hallo,
>
> ich stehe bei der Aufgabe total auf dem Schlauch. Ich weiß
> wie ich einen Gradienten bilde:
>
> grad f = [mm]\vektor{\vektor{\partial f \\ \partial x} \\ \vektor{\partial f\\ \partial y}}[/mm]
>
> Leider hilft mir das hier nicht weiter, weil ich gar nicht
> erst auf f(x;y) komme?
>
Dazu mußt Du die Funktion
[mm]f\left( \ u\left(x,y\right), \ v\left(x,y\right)\ \right)[/mm]
nach x und y mit Hilfe der ![[]](/images/popup.gif) verallgemeinerten Kettenregel ableiten.
> Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
>
> Robse
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Di 12.06.2012 | | Autor: | Robse |
Danke schonmal für deine schnelle Hilfe, ich bin schonmal ein bisschen weiter, aber es fehlt mir noch ein kleines bisschen zur Lösung.
Mein Ansatz bis jetzt ist:
f(u,v) u(x,y)=x+y v(x,y)=x-y
[mm] \bruch{df}{dx}=\bruch{\partial f}{\partial u}*\bruch{du}{dx} [/mm] + [mm] \bruch{\partial f}{\partial v}*\bruch{dv}{dx} [/mm]
[mm] \bruch{df}{dy}=\bruch{\partial f}{\partial u}*\bruch{du}{dy} [/mm] + [mm] \bruch{\partial f}{\partial v}*\bruch{dv}{dy}
[/mm]
[mm] \bruch{du}{dx}=1
[/mm]
[mm] \bruch{dv}{dx}=1
[/mm]
[mm] \bruch{du}{dy}=1
[/mm]
[mm] \bruch{dv}{dy}=-1
[/mm]
Leider habe ich noch immer keine Ahnung was [mm] \partial [/mm] f in diesem Fall ist. Es ist glaube ich bei mir eher eine Verständnissfrage....
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Hallo Robse,
> Danke schonmal für deine schnelle Hilfe, ich bin schonmal
> ein bisschen weiter, aber es fehlt mir noch ein kleines
> bisschen zur Lösung.
> Mein Ansatz bis jetzt ist:
>
> f(u,v) u(x,y)=x+y v(x,y)=x-y
>
> [mm]\bruch{df}{dx}=\bruch{\partial f}{\partial u}*\bruch{du}{dx}[/mm]
> + [mm]\bruch{\partial f}{\partial v}*\bruch{dv}{dx}[/mm]
>
> [mm]\bruch{df}{dy}=\bruch{\partial f}{\partial u}*\bruch{du}{dy}[/mm]
> + [mm]\bruch{\partial f}{\partial v}*\bruch{dv}{dy}[/mm]
>
> [mm]\bruch{du}{dx}=1[/mm]
> [mm]\bruch{dv}{dx}=1[/mm]
>
> [mm]\bruch{du}{dy}=1[/mm]
> [mm]\bruch{dv}{dy}=-1[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Leider habe ich noch immer keine Ahnung was [mm]\partial[/mm] f in
> diesem Fall ist. Es ist glaube ich bei mir eher eine
> Verständnissfrage....
Mit [mm]\partial f [/mm] meinst Du wohl den Gradienten.
Es ist doch
[mm]\pmat{f_{x} \left(x,y\right)\\ f_{y}\left(x,y\right)}=\pmat{f_{u}\left(x+y,x-y\right)+f_{v}\left(x+y,x-y\right) \\ f_{u}\left(x+y,x-y\right)-f_{v}\left(x+y,x-y\right)}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Di 12.06.2012 | | Autor: | Robse |
Tut mir leid für die späte Antwort, mein Internet war weg... Die Frage von mir war vllt etwas (sehr) unglücklich formuliert. Bei mir scheitert es daran, dass ich die Bildungsvorschrift für f nicht finde (sowas wie f(u,v)=u+v) / bzw verstehe, kannst du mir das bitte erläutern?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:31 Di 12.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
f(u,v) ist allgemein gegeben, du kannst dir vorstellen - aber nur als Beispiele [mm] f(u,v)=u^2+uv+v^2 [/mm] oder f(u,v)= [mm] e^u^v*sin(u)*(u^7v^8) [/mm] oder sonst ne funktion. sobald sie bekannt wäre wüsste man auch [mm] f_u [/mm] und [mm] f_v [/mm] die musst du hier aber einfach stehen lassen, falls du die ganze aufgabe vollständig gepostet hast.
Gruss leduart
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