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Forum "Algebra" - Gramsche Matrix
Gramsche Matrix < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Gramsche Matrix: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:22 Di 07.02.2006
Autor: nebben

Aufgabe
Auf  [mm] \IR^2 [/mm] sei eine Bilinearform f definiert durch

[mm] f((x_1 ,y_1),(x_2 ,y_2))= x_1x_2 +x_1y_2 +x_2y_1 +2y_1y_2 [/mm]

Bestimmen Sie die Gramsche Matrix bzgl. der Standardbasis von [mm] \IR^2 [/mm]


[mm] (u,v)->u^T [/mm] * A * v


[mm] (x_1 [/mm] , [mm] x_2)*A*\pmat{x_2\\y_2} [/mm] = [mm] x_1*(x_2 +y_2) [/mm] + [mm] y_1*(x_2+2y_2) [/mm]

[mm] (x_1 [/mm] , [mm] x_2)*A*\pmat{x_2\\y_2} [/mm] = [mm] (x_1 [/mm] , [mm] y_1)* \pmat{ x_2 +y_2 \\ x_2+2y_2} [/mm]


OK?
Wie gehts weiter?

Gruß nebben

        
Bezug
Gramsche Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:29 Di 07.02.2006
Autor: mathiash

Hallo und guten Tag,

Du bist doch schon fast am Ziel, Du brauchst naemlich ja jetzt nur noch A so zu bestimmen,
dass


[mm] A\cdot \vektor{x_2\\ y_2} [/mm] = [mm] \pmat{a_{11} & a_{12} \\ a_{21} a_{22}}\cdot\vektor{x_2 & y_2} [/mm]

= [mm] \vektor{x_2+y_2 \\ x_2+2y_2} [/mm]

und das ist dann Dein A.

Viele Gruesse,

Mathias

Bezug
                
Bezug
Gramsche Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:51 Di 07.02.2006
Autor: nebben

[mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 2 } [/mm] * [mm] \pmat{ x_2\\y_2}= \pmat{ x_2 & y_2 \\ x_2 & 2y_2} [/mm]


[mm] (x_1,x_2)*A*\pmat{ x_2\\y_2}=(x_1.y_1)\pmat{ x_2 & y_2 \\ x_2 & 2y_2}*\pmat{ x_2\\y_2} [/mm]


Ich verstehe nicht wieso:
[mm] (x_1,x_2)=(x_1.y_1) [/mm]

gruß nebben





Bezug
                        
Bezug
Gramsche Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:47 Mi 08.02.2006
Autor: mathiash


>  [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 2 }[/mm] * [mm]\pmat{ x_2\\y_2}= \pmat{ x_2 & y_2 \\ x_2 & 2y_2}[/mm]
>  
>
> [mm](x_1,x_2)*A*\pmat{ x_2\\y_2}=(x_1.y_1)\pmat{ x_2 & y_2 \\ x_2 & 2y_2}*\pmat{ x_2\\y_2}[/mm]
>  
>
> Ich verstehe nicht wieso:
>  [mm](x_1,x_2)=(x_1.y_1)[/mm]
>  
> gruß nebben
>  
>
>
>  

Da sind wohl in meiner Antwort ein paar Bezeichnungen durcheinander gelaufen.
Also von links soll mit dem einen Vektor und von rechts mit dem anderen multipliziert werden, ok ?

Viele Gruesse,

Mathias

Bezug
                                
Bezug
Gramsche Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:13 Mi 08.02.2006
Autor: nebben

ok . Ich hab da auch irgendwio falsche Bezeichnungen. Aber das prinzip ist mir   ok.

ISt A dann die Gramsche Matrix?

Bezug
                                        
Bezug
Gramsche Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:55 Do 09.02.2006
Autor: mathiash

Hallo,

(siehe andere Antwort:) meiner Ansicht nach ist A die Gram'sche Matrix.

Gruss,

Mathias

Bezug
                
Bezug
Gramsche Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:24 Mi 08.02.2006
Autor: nebben

A ist die Gramsche Matrix?

oder muss man noch orthogonalisieren nach Gram-Schmidt?

Bezug
                        
Bezug
Gramsche Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:54 Do 09.02.2006
Autor: mathiash

Hallo,

ich wuerd sagen: A ist die Gram'sche Matrix.

Gruss,

Mathias

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