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| Aufgabe | Sie haben ein supraleitendes Gravitationsmessgerät, das Änderungen des Gravitationsfeldes mit einer Empfindlichkeit [mm] \bruch{\Delta G}{G}=10^{-11} [/mm] bestimmen kann.
Sie fahren in einem Heißluftballon, und benutzen das Gerät um ihre Steiggeschwindigkeit zu messen (die als konstant angenommen wird). Welches ist die kleinste Höhenanderung, die Sie mit ihrem Gerät im Gravitationsfeld der Erde messen können? |
Hallo,
ich habe den Lösungsweg verstehe ihn aber leider nicht.
Hier die Lösung:
Zuerst differenzieren wir G nach dem Abstand:
[mm] G=\bruch{\Gamma m}{r^2}
[/mm]
[mm] \bruch{dG}{dr}=\bruch{-2\Gamma m}{r^3}=\bruch{-2}{r}*\bruch{\Gamma m}{r^2}=-\bruch{2}{r}*G
[/mm]
Die Trennung der Variablen ergibt [mm] \bruch{dG}{G}=-2dr/r=10^{-11}.
[/mm]
Wir können näherungsweise dr durch [mm] \Delta [/mm] r ersetzen. Mit [mm] r=r_E [/mm] erhalten wir dann für den Betrag der Abstandsanderung:
[mm] \Delta r=|-\bruch{1}{2}*(10^{-11})*(6,37*10^6 m)|=3,19*10^{-5} [/mm] m=0,0319 mm
Kann mir jemand erklären warum hier die Funktion nach dem Abstand abgeleitet wird? Was bedeutet Trennung der Variablen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Mi 11.02.2015 | | Autor: | Kroni |
Hallo,
Du hast ja schon gegeben, dass die Gravitationskonstante [mm] $G(r)=\Gamma [/mm] m / [mm] r^2$. [/mm] Das bedeutet also, dass sich die Grav.Konstante $G$ ändern kann, wenn Du den Abstand $r$ zur Erde variierst.
Die Frage, die Du nun also beantworten musst ist:
Wie ändert sich $G$, also wie groß ist [mm] $\Delta G=G(r_2)-G(r_1)$, [/mm] wenn Du den Abstand $r$ von [mm] $r_1$ [/mm] nach [mm] $r_2=r_1+\Delta [/mm] r$ veränderst.
Wenn Du jetzt die Abstandsänderung [mm] $\Delta [/mm] r$ klein wählst (d.h. klein gegenüber der ursprünglichen Distanz), wird diese Frage ja gerade durch die Ableitung
[mm] $\mathrm [/mm] d G / [mm] \mathrm [/mm] d r$
beantwortet.
Deshalb wird in der Lösung dann
[mm] $\mathrm [/mm] d G / [mm] \mathrm [/mm] d r = -2 [mm] \Gamma [/mm] m / [mm] r^{-3} [/mm] = -2G/r$
berechnet.
Nun weißt Du, dass eine kleine Änderung [mm] $\mathrm [/mm] d r$ des Abstandes von der Erde $r$ zu einer Ändeung [mm] $\mathrm [/mm] d G$ der Gravitationskonstanten führt.
Da Du ja schon [mm] $10^{-11}=\Delta [/mm] G / G [mm] \approx \delta [/mm] G / G $ kennst, "trennst" Du jetzt die Variablen in deiner obigen Gleichung [mm] $\mathrm [/mm] d G / [mm] \mathrm [/mm] d r = -2G/r$ zu
[mm] $\mathrm [/mm] d G / G = -2 [mm] \mathrm [/mm] d r / r$
(man bringt also alle "$G$" auf eine Seite und alle "$r$" auf die andere Seite - das nennt man dann "Trennung der Variablen").
Da Du ja weißt, dass Dein Messgerät die relative Änderung [mm] $\mathrm [/mm] d G/G$ der Grav.Konst. mit einer Genauigkeit von [mm] $10^{-11}$ [/mm] messen kannst, gilt ja
[mm] $10^{-11} [/mm] = -2 [mm] \mathrm [/mm] d r / r$ oder anders
[mm] $|\mathrm [/mm] d r| = [mm] 10^{-11} [/mm] r / 2$
Hier wird jetzt, um ein Zahlenwert anzugeben, davon ausgegangen, dass Du von der Erdeoberfläche aus startest, weshalb [mm] $r=r_e \approx 6400\,\text{km}$ [/mm] gegeben ist.
Ich hoffe, diese Kommentare helfen Dir. Falls nicht melde Dich gerne noch einmal.
LG
Kroni
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Hallo Kroni,
erstmal vielen Dank für die schnelle und ausführliche Antwort. Das muss ich erst mal sacken lassen...
Deine Antwort hat mich auf eine Idee gebracht:
[mm] r_1=\wurzel{\bruch{\Gamma*m_E}{G}}
[/mm]
[mm] r_2=\wurzel{\bruch{\Gamma*m_E}{G+\Delta G}}
[/mm]
[mm] \Delta r=r_2-r_1
[/mm]
[mm] \Delta r=\wurzel{\bruch{\Gamma*m_E}{G+\Delta G}}-\wurzel{\bruch{\Gamma*m_E}{G}}
[/mm]
Aber mit der Differentialrechnung ist es natürlich eleganter...
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:19 Fr 13.02.2015 | | Autor: | Kroni |
Hallo,
Dein Ansatz funktioniert natürlich auch, man muss nur noch etwas weiter rechnen:
[mm]\Delta r = \sqrt{\frac{\Gamma m }{G_1 + \Delta G}} - \sqrt{\frac{\Gamma m}{G_1}}= \sqrt{\frac{\Gamma m }{G_1}}\left(\sqrt{\frac{1}{1+\Delta G / G_1}}-1 \right)[/mm]
Da [mm]\Delta G / G[/mm] sehr klein ist, kann man die Wurzel entwickeln:
[mm]\sqrt{\frac{1}{1+\Delta G / G}}\approx 1-\frac{1}{2}\frac{\Delta G}{G}[/mm].
Mit
[mm]r=\sqrt{\frac{\Gamma m }{G}}[/mm]
folgt ja dann automatisch
[mm]|\Delta r| = \frac{1}{2}r \frac{\Delta G}{G}[/mm].
Das ist dann genau das selbe Ergebnis, das wir ja schon mit Hilfe der "Differentialrechnung" erhalten haben.
[Beide Herangehensweisen sind in diesem Fall korrekt, weil wir hier am Ende die Wurzel für kleine [mm]\Delta G / G[/mm] entwickelt haben...]
LG
Kroni
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