Grenzwert < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 So 30.08.2015 | | Autor: | Ice-Man |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{4}{x})^{x} [/mm] |
Hallo, ich habe mal bitte eine kurze Frage,
warum ist der Grenzwert [mm] e^{4}?
[/mm]
Ich hab leider ein Verständnisproblem.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=e^{ln(1+\bruch{4}{x})^{x}}=e^{xln(1+\bruch{4}{x})}
[/mm]
Und jetzt hört es leider auf...
Hätte evtl. bitte jemand einen Tipp für mich?
Danke schon einmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:35 So 30.08.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Ice-Man!
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{4}{x})^{x}[/mm]
Du meinst
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{4}{x}\right)^{x}
[/mm]
> warum ist der Grenzwert [mm]e^{4}?[/mm]
Es ist
[mm] \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{z}{x}\right)^x=e^z [/mm] für alle [mm] z\in\IC.
[/mm]
Demnach ist
[mm] $\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{4}{x}\right)^x=e^4$.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 So 30.08.2015 | | Autor: | Ice-Man |
Ich danke dir.
Das ist dann also eine "Rechenregel"?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 So 30.08.2015 | | Autor: | DieAcht |
> Das ist dann also eine "Rechenregel"?
Jein. Je nach dem wie man die Exponentialfunktion definiert hat
ist es dann entweder die Definition selbst oder ein "Satz".
Eine Möglichkeit die Exponentialfunktion zu definieren geht über
die Exponentialreihe. Eine weitere Möglichkeit ist Definition
als Grenzwert der Folge [mm] $((1+x/n)^n)_{n\in\IN}$.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 So 30.08.2015 | | Autor: | abakus |
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{4}{x})^{x}[/mm]
> Hallo, ich habe mal bitte eine kurze Frage,
> warum ist der Grenzwert [mm]e^{4}?[/mm]
Hallo,
dir ist sicher bekannt, dass [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{k})^{k}=e[/mm] gilt.
Mit der Substitution k=n/4 folgt auch
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{4}{n})^{\frac{n}{4}}=e[/mm]. Nun gilt ja [mm] $(1+\bruch{4}{n})^{n}= ((1+\bruch{4}{n})^\frac{n}{4})^{4} [/mm] $...
>
> Ich hab leider ein Verständnisproblem.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}=e^{ln(1+\bruch{4}{x})^{x}}=e^{xln(1+\bruch{4}{x})}[/mm]
>
> Und jetzt hört es leider auf...
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> Hätte evtl. bitte jemand einen Tipp für mich?
>
> Danke schon einmal
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