Grenzwert < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:44 Do 12.12.2013 | | Autor: | MrPan |
| Aufgabe | f: (0,1) -> R
x -> [mm] \begin{cases} x, & \mbox{für } x \mbox{ rational} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ irrational} \end{cases}
[/mm]
Berrechnen Sie den Grenzwert an den Rändern des Definitionsbereichs. |
Hallo,
ich weiß leider nicht wie ich hier ansetzen kann, wenn ich das mithilfe einer Folge zeige(Folgenstetigkeit) z.b limes n gegen unendlich f(1/n) ist diese für jedes n rational so wäre der Grenzwert 0 bzw. 1, wenn ich jetzt aber eine irrationale Folge hätte wären die Grenzwerte 0 und 0.
muss ich hier eine Folge suchen die sowohl irrational als auch rational ist?
Wenn ja, wie sieht eine solche aus?
Vielen Dank für Tipps.
mfg
|
|
| |
|
Richtig!
Das bedeutet: bei x=0 stimmen die Grenzwerte der Teilfolgen überein, also [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] f(x)=0.
Bei x=1 gilt: Sei [mm] \epsilon=0,1. [/mm] Für jede beliebige Zahl a [mm] \in \IR [/mm] ist entweder [mm] \limes_{x\rightarrow\ 1}|0-a|> \epsilon [/mm] oder [mm] \limes_{x\rightarrow\ 1} [/mm] |x-a|=|1-a| > [mm] \epsilon, [/mm] also gibt es kein solches a, das Grenzwert sein könnte. Also existiert kein Grenzwert!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:27 Fr 13.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
edit: ich hatte die Aufgabe zu ungenau gelesen - ich dachte, es ging' darum,
ob [mm] $f\,$ [/mm] durch [mm] $f(0):=0\,$ [/mm] und [mm] $f(1):=1\,$ [/mm] stetig an den Rändern fortgesetzt
werden kann. Prinzipiell beantwortet das eigentlich auch die Frage in der
Aufgabe - natürlich fehlt dann aber die Begründung, warum man gerade
die obigen Fortsetzungen wählen sollte... wenn man das ergänzen würde,
würde meine Antwort hier die eigentliche Aufgabe auch vollständig
beantworten. Ich schreibe dazu mal ganz unten noch was!
> f: (0,1) -> R
>
> x -> [mm]\begin{cases} x, & \mbox{für } x \mbox{ rational} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ irrational} \end{cases}[/mm]
>
> Berrechnen Sie den Grenzwert an den Rändern des
> Definitionsbereichs.
> Hallo,
>
> ich weiß leider nicht wie ich hier ansetzen kann, wenn ich
> das mithilfe einer Folge zeige(Folgenstetigkeit) z.b limes
> n gegen unendlich f(1/n) ist diese für jedes n rational so
> wäre der Grenzwert 0 bzw. 1, wenn ich jetzt aber eine
> irrationale Folge hätte wären die Grenzwerte 0 und 0.
naja, wenn [mm] $(x_n)_n$ [/mm] Nullfolge mit Werten in [mm] $(0,1)\,$ [/mm] ist, so kannst Du ja mal
unterscheiden, ob [mm] $x_n \in [/mm] (0,1) [mm] \cap \IQ$ [/mm] oder [mm] $x_n \in [/mm] (0,1) [mm] \cap (\IQ \setminus \IR)\,.$
[/mm]
In jedem dieser Fälle gilt [mm] $|f(x_n)|$ $\le$ $|x_n|\,.$ [/mm] (Das solltest Du (kurz) begründen!)
Also?
> muss ich hier eine Folge suchen die sowohl irrational als
> auch rational ist?
Das ist komisch formuliert, aber Du meinst es vielleicht so: Wenn $(0,1) [mm] \ni x_n \to 1\,$
[/mm]
gilt, so kann ja jedes Folgenglied [mm] $x_n$ [/mm] entweder rational oder eben irrational
sein.
Du willst nun eine Folge [mm] $(y_n)_n$ [/mm] in [mm] $(0,1)\,$ [/mm] finden, für die [mm] $(f(y_n))_n$ [/mm] nicht
gegen [mm] $f(1)=1\,$ [/mm] konvergiert, obwohl [mm] $y_n \to 1\,.$ [/mm]
[Beachte die Bemerkungen zur "stetigen Ergänzung"! Denn eigentlich gibt
es in der Aufgabe ja erstmal [mm] $f(1)\,$ [/mm] gar nicht...]
(Alternativ könntest Du auch mit "zwei Folgen" arbeiten - schau' Dir mal
![[]](/images/popup.gif) Definition 10.4 an!)
Das ist doch nicht wirklich allzu schwer:
[mm] $y_{2n-1}:=1-\frac{1}{n+1}$
[/mm]
und
[mm] $y_{2n}:=1-\frac{\sqrt{2}}{n+1}$
[/mm]
tut sowas! (Den Beweis überlasse ich Dir!)
Ergänzung:
Wie ganz oben angedeutet fehlt hier eigentlich noch was, ich mach's mal
so:
Wenn [mm] $\lim_{x \to 0}f(x)$ [/mm] existiert:
Betrachtet man [mm] $\IR \setminus \IQ \ni [/mm] x [mm] \to 0\,,$ [/mm] so muss schonmal notwendig
[mm] $\lim_{x \to 0}f(x)=0$ [/mm] sein.
Wenn [mm] $\lim_{x \to 1}f(x)$ [/mm] existiert:
Betrachtet man [mm] $\IR \setminus \IQ \ni [/mm] x [mm] \to 1\,,$ [/mm] so muss schonmal notwendig
[mm] $\lim_{x \to 1}f(x)=1$ [/mm] sein.
Diese Vorüberlegungen kannst Du bei Deiner Aufgabe anstellen, und dann
kann man damit die Frage passend umformulieren, wie ich es oben
angedeutet habe!
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
