Grenzwert + Integral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Betrachte das Integral [mm] \frac{1}{\delta}\int_{t}^{t+\delta}\int_{-\infty}^{\infty}a(x,\tau)dxd\tau\leq\frac{1}{\delta}\int_{s}^{s+\delta}\int_{-\infty}^{\infty}a(x,\tau)dxd\tau [/mm] für eine beliebige integrierbare Funktion [mm] a(x,t),0\leq s\leq [/mm] t und [mm] 0<\delta
Zeigen Sie, dass für [mm] \delta\rightarrow0 [/mm] folgt:
[mm] \int_{-\infty}^{\infty}a(x,t)dx\leq\int_{-\infty}^{\infty}a(x,s)dx [/mm] fast überall für [mm] 0\leq s\leq [/mm] t. |
Hallo,
das ist für mich ein Problem. Ich weiß da garnicht wie ich anfangen soll. Mir macht schon das [mm] \delta [/mm] vor dem Integral Probleme. Gibt es einen Tipp, wie ich anfangen kann, bzw. weiterkomme?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:21 Di 16.08.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
für nicht-stetige Funktionen muß das nicht stimmen.
[mm] $a(x,\tau)=1_{[0,1]}(x)*(1_{(0,t]}(\tau)+1_{(s,2s]}(\tau))$
[/mm]
Oder lieg ich hier grob falsch?
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
>
> für nicht-stetige Funktionen muß das nicht stimmen.
>
> [mm]a(x,\tau)=1_{[0,1]}(x)*(1_{(0,t]}(\tau)+1_{(s,2s]}(\tau))[/mm]
>
> Oder lieg ich hier grob falsch?
>
> ciao
> Stefan
Ok, das mag sein.
Also ich spezifiziere das mal etwas. Meine Funktion [mm] a(x,\tau) [/mm] ist nämlich stetig. Es gilt [mm] a(x,\tau)=|u(x,\tau)-v(x,\tau)|. [/mm] Dabei sind u,v zwei beschränkte Funktionen von [mm] \mathbb{R}\times [0,\infty), [/mm] die jeweils in [mm] C([0,\infty),L^1(\mathbb{R})\cap L^{\infty}(\mathbb{R} \times (0,\infty)) [/mm] sind.
Weil u und v beschränkt sind, ist a Lipschitz stetig und damit stetig.
Ich hab das trotzdem leider noch nicht so ganz hinbekommen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 Di 30.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> >
> > für nicht-stetige Funktionen muß das nicht stimmen.
> >
> > [mm]a(x,\tau)=1_{[0,1]}(x)*(1_{(0,t]}(\tau)+1_{(s,2s]}(\tau))[/mm]
> >
> > Oder lieg ich hier grob falsch?
> >
> > ciao
> > Stefan
>
>
> Ok, das mag sein.
>
> Also ich spezifiziere das mal etwas. Meine Funktion
> [mm]a(x,\tau)[/mm] ist nämlich stetig. Es gilt
> [mm]a(x,\tau)=|u(x,\tau)-v(x,\tau)|.[/mm] Dabei sind u,v zwei
> beschränkte Funktionen von [mm]\mathbb{R}\times [0,\infty),[/mm]
> die jeweils in [mm]C([0,\infty),L^1(\mathbb{R})\cap L^{\infty}(\mathbb{R} \times (0,\infty))[/mm]
> sind.
Was ist denn hier los ? Oben sagst Du, dass u und v auf [mm]\mathbb{R}\times [0,\infty)[/mm] def. sind.
Dann sind aber plötzlich
u,v [mm] \in[/mm] [mm]C([0,\infty),L^1(\mathbb{R})\cap L^{\infty}(\mathbb{R} \times (0,\infty))[/mm] .
Was soll denn das für ein Raum sein.
> Weil u und v beschränkt sind, ist a Lipschitz stetig
Das glaube ich aber nicht.
FRED
> und
> damit stetig.
> Ich hab das trotzdem leider noch nicht so ganz
> hinbekommen.
|
|
|
| |
|
> > >
> > > für nicht-stetige Funktionen muß das nicht stimmen.
> > >
> > > [mm]a(x,\tau)=1_{[0,1]}(x)*(1_{(0,t]}(\tau)+1_{(s,2s]}(\tau))[/mm]
> > >
> > > Oder lieg ich hier grob falsch?
> > >
> > > ciao
> > > Stefan
> >
> >
> > Ok, das mag sein.
> >
> > Also ich spezifiziere das mal etwas. Meine Funktion
> > [mm]a(x,\tau)[/mm] ist nämlich stetig. Es gilt
> > [mm]a(x,\tau)=|u(x,\tau)-v(x,\tau)|.[/mm] Dabei sind u,v zwei
> > beschränkte Funktionen von [mm]\mathbb{R}\times [0,\infty),[/mm]
> > die jeweils in [mm]C([0,\infty),L^1(\mathbb{R})\cap L^{\infty}(\mathbb{R} \times (0,\infty))[/mm]
> > sind.
>
>
>
> Was ist denn hier los ? Oben sagst Du, dass u und v auf
> [mm]\mathbb{R}\times [0,\infty)[/mm] def. sind.
>
> Dann sind aber plötzlich
>
> u,v [mm]\in[/mm] [mm]C([0,\infty),L^1(\mathbb{R})\cap L^{\infty}(\mathbb{R} \times (0,\infty))[/mm]
> .
>
> Was soll denn das für ein Raum sein.
>
>
> > Weil u und v beschränkt sind, ist a Lipschitz stetig
>
> Das glaube ich aber nicht.
>
> FRED
>
> > und
> > damit stetig.
> > Ich hab das trotzdem leider noch nicht so ganz
> > hinbekommen.
>
Oh Entschuldigung, du hast vollkommen recht, das macht so überhaupt keinen Sinn. Es sind u,v [mm]\in[/mm] [mm]C([0,\infty),L^1(\mathbb{R}))\cap L^{\infty}(\mathbb{R} \times (0,\infty))[/mm].
Diese kleine, aber wichtige Klammer, habe ich übersehen.
So nun ist aber die Funktion G:= [mm] g(\tau):=\int_{-\infty}^{\infty}a(x,\tau)dx [/mm] stetig bzgl. [mm] L^{1} [/mm] für jedes [mm] t\in[0,\infty), [/mm] wenn ich das richtig verstanden habe.
Wenn ich also mal [mm] \frac{1}{\delta}\int_{t}^{t+\delta}g(\tau)d\tau [/mm] betrachte und den Grenzwert für [mm] \delta\to0 [/mm] berechne, dann sollte da g(t) herauskommen.
Ich weiß nicht, inwiefern das, was ich jetzt mache, korrekt ist, weil ich mit dieser [mm] L^{1} [/mm] Stetigkeit noch so meine Probleme habe. Weiterhin braucht man dafür eigtl. das Riemann Integral. Also Verbesserungen nehme ich gerne entgegen. Vielleicht kann man das auch verallgemeinern für meinen Fall
Es ist [mm] g\geq0. [/mm] Der Mittelwertsatz der Integralrechnung liefert mir doch dann ein Zahl [mm] \xi_{\delta} [/mm] zwischen t und [mm] t+\delta [/mm] derart, dass
[mm] \int_{t}^{t+\delta}g(\tau)d\tau=\delta g(\xi_{\delta}). [/mm] Für [mm] \delta\to0 [/mm] folgt dann mit der Stetigkeit (?) von g, dass [mm] \frac{1}{\delta}\int_{t}^{t+\delta}g(\tau)d\tau=g(\xi_{\delta})\to [/mm] g(t).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Do 01.09.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
