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Grenzwert Folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:20 Mi 23.03.2011
Autor: Loriot95

Aufgabe
Man untersuche auf Konvergenz und bestimme ggf. den Grenzwert
(i) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n+\wurzel{n}cos(n)} [/mm]

(ii) [mm] \limes_{x\rightarrow 1} (\bruch{\alpha}{1-x^{\alpha}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{1-x}) [/mm] mit [mm] \alpha \in \IR \backslash \{0\} [/mm]

Guten Tag,

ich bräuchte mal wieder eure Hilfe.

Zu (i): Es gilt [mm] \wurzel[n]{\wurzel{n}} \le \wurzel[n]{n+\wurzel{n}cos(n)} \le \wurzel[n]{2n} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{2}* \wurzel[n]{n} [/mm]

Also: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\wurzel{n}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n} \wurzel[n]{2}* \wurzel[n]{n} [/mm] = 1.

[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n+\wurzel{n}cos(n)} [/mm] = 1. Stimmt das so?

Zu (ii): Hier habe ich nur: [mm] \bruch{\alpha}{1-x^{\alpha}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{1-x} [/mm] = [mm] \bruch{\alpha- \alpha*x -1}{1-x^{\alpha+1}} [/mm]

Würde mich über einen Tipp freuen.

LG Loriot95

        
Bezug
Grenzwert Folgen: zu (ii)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:31 Mi 23.03.2011
Autor: Roadrunner

Hallo Loriot!


Hier hast Du den Hauptnenner der beiden Brüche falsch gebildet.

Es gilt:

[mm]1-x^\alpha \ = \ (1-x)*\left(1+x+x^2+x^3+...+x^{\alpha-1}\right)[/mm]


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                
Bezug
Grenzwert Folgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:37 Mi 23.03.2011
Autor: kamaleonti

Hallo roadrunner,
> Hallo Loriot!
>  
>
> Hier hast Du den Hauptnenner der beiden Brüche falsch
> gebildet.
>  
> Es gilt:
>  
> [mm]1-x^\alpha \ = \ (1-x)*\left(1+x+x^2+x^3+...+x^{\alpha-1}\right)[/mm]

Bei der Aufgabe ist aber $ [mm] \alpha \in \IR \backslash \{0\} [/mm] $, also nicht notwendig natürlich. Deswegen sehe ich noch nicht, wie das helfen soll.

>  
>
> Gruß vom
>  Roadrunner

LG


Bezug
                
Bezug
Grenzwert Folgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:47 Mi 23.03.2011
Autor: Al-Chwarizmi

  
> [mm]1-x^\alpha \ = \ (1-x)*\left(1+x+x^2+x^3+...+x^{\alpha-1}\right)[/mm]


Dies passt, falls [mm] \alpha\in\IN [/mm] , was aber nicht vorausgesetzt war ...

LG   Al

Bezug
        
Bezug
Grenzwert Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:59 Mi 23.03.2011
Autor: kamaleonti

Hallo Loriot,
> Man untersuche auf Konvergenz und bestimme ggf. den
> Grenzwert
>  (i) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n+\wurzel{n}cos(n)}[/mm]
>  
> (ii) [mm]\limes_{x\rightarrow 1} (\bruch{\alpha}{1-x^{\alpha}}[/mm]
> - [mm]\bruch{1}{1-x})[/mm] mit [mm]\alpha \in \IR \backslash \{0\}[/mm]
>  
> Guten Tag,
>  
> ich bräuchte mal wieder eure Hilfe.
>
> Zu (i): Es gilt [mm]\wurzel[n]{\wurzel{n}} \le \wurzel[n]{n+\wurzel{n}cos(n)} \le \wurzel[n]{2n}[/mm] = [mm]\wurzel[n]{2}* \wurzel[n]{n}[/mm]

Die linke Abschätzung gilt erst sicher ab n= ... ?

>
> Also: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\wurzel{n}}[/mm] =  [mm][mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n} \wurzel[n]{2}= [/mm] 1.
>  
> [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n+\wurzel{n}cos(n)}[/mm] = 1. Stimmt das so? ([ok])
>  
> Zu (ii): Hier habe ich nur: [mm]\bruch{\alpha}{1-x^{\alpha}}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm] = [mm]\bruch{\alpha- \alpha*x -1}{1-x^{\alpha+1}}[/mm]

Es sollte heißen:
[mm] \qquad $\frac{\alpha}{1-x^{\alpha}}-\bruch{1}{1-x}=\frac{\alpha(1-x)-1(1-x^\alpha)}{(1-x^\alpha)(1-x)}=\frac{\alpha-\alpha x-1+x^\alpha}{1-x-x^\alpha+x^{\alpha+1}}$ [/mm]
Das sieht verdächtig nach L'Hospital [mm] "\frac{0}{0}" [/mm] aus. Und dann nochmal.

>  
> Würde mich über einen Tipp freuen.
>  
> LG Loriot95

LG

Bezug
                
Bezug
Grenzwert Folgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:02 Mi 23.03.2011
Autor: Loriot95

Ok. Vielen Dank an euch ;)

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