Grenzwert bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Errate den Grenzwert a der Folge [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] mit
[mm] a_{n} [/mm] := [mm] \bruch{2n^2+7n+3}{5n^2+6}
[/mm]
und gib (mit Beweis) zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein [mm] n_{0}(\varepsilon) [/mm] mit [mm] |a_{n}-a|<\varepsilon [/mm] für alle [mm] n\ge n_{0}(\varepsilon) [/mm] an. |
Hallo,
den Grenzwert habe ich erraten. Er müsste [mm] \bruch{2}{5} [/mm] sein.
Jetzt ist ja folgendes zu zeigen:
a = [mm] \bruch{2}{5} [/mm] ist Grenzwert von a, also zu zeigen:
[mm] \forall \varepsilon>0, \exists n_{0}(\varepsilon) \in\IN [/mm] : [mm] |a_{n}-\bruch{2}{5}|<\varepsilon, \forall n\ge n_{0}(\varepsilon)
[/mm]
Annahme: Das würde NICHT gelten, dann gilt:
[mm] \exists \varepsilon>0, \forall n_{0}(\varepsilon) \in\IN [/mm] : [mm] |a_{n}-\bruch{2}{5}| \ge \varepsilon, \exists n\ge n_{0}(\varepsilon)
[/mm]
[mm] |a_{n}-\bruch{2}{5}| \ge \varepsilon [/mm] ist ja nichts anderes, wie:
[mm] \bruch{2}{5} [/mm] - [mm] \varepsilon \ge a_{n} \ge \varepsilon [/mm] + [mm] \bruch{2}{5}
[/mm]
Wenn nun n [mm] \to \infty [/mm] läuft, dann ist [mm] a_{n} [/mm] praktisch [mm] \bruch{2}{5}.
[/mm]
Es folgt:
[mm] \bruch{2}{5} [/mm] - [mm] \varepsilon \ge \bruch{2}{5} \ge \varepsilon [/mm] + [mm] \bruch{2}{5}
[/mm]
Aber das wäre ja ein Widerspruch, da [mm] \varepsilon [/mm] > 0 sein soll, und somit wäre die Ungleichung nicht erfüllt. Kann man das so machen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:17 Sa 19.11.2011 | | Autor: | Helbig |
>
> den Grenzwert habe ich erraten. Er müsste [mm]\bruch{2}{5}[/mm]
> sein.
Das seh ich auch so.
>
> Jetzt ist ja folgendes zu zeigen:
>
> a = [mm]\bruch{2}{5}[/mm] ist Grenzwert von a, also zu zeigen:
>
> [mm]\forall \varepsilon>0, \exists n_{0}(\varepsilon) \in\IN[/mm] :
> [mm]|a_{n}-\bruch{2}{5}|<\varepsilon, \forall n\ge n_{0}(\varepsilon)[/mm]
>
> Annahme: Das würde NICHT gelten, dann gilt:
>
> [mm]\exists \varepsilon>0, \forall n_{0}(\varepsilon) \in\IN[/mm] :
> [mm]|a_{n}-\bruch{2}{5}| \ge \varepsilon, \exists n\ge n_{0}(\varepsilon)[/mm]
>
> [mm]|a_{n}-\bruch{2}{5}| \ge \varepsilon[/mm] ist ja nichts anderes,
> wie:
>
> [mm]\bruch{2}{5}[/mm] - [mm]\varepsilon \ge a_{n} \ge \varepsilon[/mm] +
> [mm]\bruch{2}{5}[/mm]
>
So geht es nicht! Dieser Folgerung gilt doch nur, wenn Du [mm] $\epsilon \le [/mm] 0$ voraussetzt, aber das willst Du in Deinem Widerspruchsbeweis ja gerade zeigen.
Ich denke, ein direkter Beweis ist hier einfacher als ein Widerspruchsbeweis.
OK?
Grüße,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
Ok, ich habs jetzt versucht direkt zu beweisen, aber irgendwie kommt da nur Sch.... raus...
Von folgender Ungleichung bin ich ausgegangen:
[mm] |a_{n}-\bruch{2}{5}| [/mm] < 0 < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{2}{5} [/mm] - [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] a_{n} [/mm] < [mm] \bruch{2}{5} [/mm] < [mm] \bruch{2}{5} [/mm] + [mm] \varepsilon
[/mm]
Jetzt habe ich mir [mm] a_{n} [/mm] < [mm] \bruch{2}{5} [/mm] rausgepickt und nach n aufgelöst, aber am Ende erhalte ich n < [mm] -\bruch{3}{35} [/mm] und das kann es ja nicht sein, weil n [mm] \in \IN. [/mm] Wo ist der Fehler?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:39 So 20.11.2011 | | Autor: | Helbig |
> [mm]|a_{n}-\bruch{2}{5}|[/mm] < 0 < [mm]\varepsilon[/mm]
Das bringt nichts. Ein Betrag ist niemals <0.
Bringe für $a=5/2$ die Ungleichung
[mm] $a_n-a [/mm] < [mm] \epsilon$
[/mm]
in eine äquivalente Ungleichung der Form
"Ausdruck mit [mm] $\epsilon$" [/mm] $ < n$.
Ebenso für [mm] $a-a_n [/mm] < [mm] \epsilon$.
[/mm]
Das Maximum der beiden [mm] $\epsilon$-Ausdrücke [/mm] ist dann Dein [mm] $n_0(\epsilon)$.
[/mm]
Kommst Du damit weiter?
Wolfgang
|
|
|
|
